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第一章函数作业指导1.邻域

(1) 点x0的邻域记为U(x0,){x||xx0|,0}，x0称为邻域中心，称为邻域半径. (2) 点x0的去心邻域记为U(x0,){x|0|xx0|,0}，且把(x0,x0)称为x0的左邻域，把(x0,x0)称为x0的右邻域.

2. 函数的定义：设D是一个非空实数集合，设有一个对应规则f，使每一个xD，都有一个确定的实数y与之对应，则称这个对应规则f是定义在D上的一个实数关系，或称变量y是变量x的函数，记作yf(x)，xD. 其中：x称为自变量，y称为因变量；集合D称为映射f的定义域，记作Df。

函数概念的两个要素：(1) 定义域Df，(2) 对应法则f。

题型一

求函数的定义域

【思路】若函数是解析式表示的，则使运算有意义的实自变量值的集合即为定义域。通常需要考虑如下几点：

(1) 分母不得为零；

(2) 偶次方根下的式子非负；

(3) 对数的真数为正；

(4) 正、余切函数自变量分别不等于k2和k(k0,1,2,)；

(5) 反正、余弦函数的自变量绝对值不能超过1；

(6) 若函数由n项组成，定义域为各项的定义域的交集；

(7) 分段函数取各段定义域的并集. 例1

求下列函数的定义域. (1) y1x2；(2)y(x|x|)sin2x；(3) yarcsin(23x)；

21x1,x0x1(4) yx,0x1

2,1x2x111x20解：(1) 欲使y有意义，自变量必须满足，即，xx2x21x2x20因此定义域为[2,1)(1,1)(1,). (2) 由于sin2x0，所以仅当sin2x0时才有意义，所求定义域为{0,1,2,}. (3) 由于3x0，即23x2，不满足123x1，因此该函数的定义域为空集. (4) 由于函数为分段表示的函数，所以定义域为(,0)(0,2]. 例2 已知函数f(x)的定义域为[1,2]，求f(1lnx)的定义域. 【思路】已知函数的定义域，用代入法可求出f[(x)]的定义域. 例如，设f(t)的自变量t满足atb，将(x)替换不等式中的t，得到a(x)b，由此解出x，得到f[(x)]的定义域. 1解：将1lnx代换1t2中的t，得到11lnx2，即得x1，所求定义域e1为[,1]. e

题型二

求复合函数的表达式

ex,x1x2,x0例2

设f(x)，(x)2，求f[(x)]. x,x1x1,x0【思路】对于初等函数与分段函数或分段函数之间的复合问题，一般用分析法，即抓住最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析，从而得到复合函数的表达式. e(x),(x)1解：f[(x)]. (x),(x)1

(1)

当(x)1时，

x0，x1; x0，(x)x21，即x1x0，0x2. x0，(x)x211，即2x2(2)

当(x)1时，

x0，1x0; x0，(x)x21，即x1x0，x2. x0，(x)x211，即2x2ex2,x2,综上所述，f[(x)]x21,e2x1,x11x00x2x2.

题型三

求抽象函数的表达式

例3 (1) 设f(sin2x)cos2xtan2x，0x1，求f(x). 1c(2) 设af(x)bf()(x0,a2b2)，求f(x). xx【思路】使用变量替换. 解：(1) f(sinx)12sinx所以f(t)12t22sin2x1sin2x，令sin2xt，则0tsin21

(0x1). t112t，即f(x)2x，0xsin21. 1t1t1x111c(2)令x，则af()bf(t)ct

①，令xt，则af(t)bf()

②，①②两式ttttcaca联立求解得，f(t)22(bt)，因此f(x)22(bx). txbaba3. 有界性：设函数yf(x)在区间I上有定义，如果M0，使得对于一切xI，恒有|f(x)|M，则称f(x)在区间I上有界；若不存在这样的M0，则称f(x)在区间I上无界.

注意：

(1) 函数f(x)有无界是相对于某个区间而言的；

(2) 无界函数与无穷大的区别：在一定变化趋势下，f(x)为无穷大，则f(x)一定无界；若f(x)在某个区间上无界，则f(x)不一定是无穷大. 例如f(x)xsinx，当x时是无界函数，而不是无穷大量. 六个常见的有界函数：|sinx|1，|cosx|1，x(,)

|arcsinx|2，|arccosx|，x[1,1]

tanx、cotx、|sinx|、|cosx|，其周期为T. 4.初等函数

1)基本初等函数的图形及主要性质(见表). 2)初等函数. 由基本初等函数通过有限次的四则运算或复合运算得到的只能用一个式子表示的函数，称为初等函数. 基本初等函数的图形及主要性质: 函数

y 幂函数yx(是常数). 3

图形

2

1

定义域

随不同而不同，但无论取何值，x在(0,)总有定义. 值域

主要性质

o 1

1

x 随不同而不同. 若0，x在[0,)单调增加；若0,x在(0,)单调减少.

y 指数函数yax(a是常数，a0,a1) 1 a1

a01. 0a1

(,)

(0,)

o x 若a1，ax单调增加；若0a1，ax单调减少.直线y0为函数图形的水平渐近线. loga10. 对数函数ylogax，a为常数，

y a1

(0,)

1 0a1

(,)

a1,logax单调增o x

a0,a1

logax加；0a1，单调减少. x0为垂直渐近线.

正弦函数ysinx

余弦函数ycosx

y 1

o -1 

x (,)

[1,1]

以2为周期的周期函数；在[,]22上单调增加；奇函数. y 1 x

o -1 

(,)

[1,1]

以2为周期的周期函数；在[0,]上单调减少；偶函数. y (2n1)2正切函数ytanx

o x 2

2

x(2n1)2

(,)

以为周期的周期函数；在(,)上22单调增加；奇函数；以直线

为函2数图形的垂直渐近线，n0,1,. x(2n1)n0,1,2,

余切函数ycotx

反正弦函数yarcsinx

-1 o y nx

x 

(n1)

n0,1,2,(,)

以为周期的周期函数；在(0,)上单调减少；奇函数；以直线xn为函数图形的垂直渐近线，n0,1,. y 2

x o 1 [1,1]

[,]

22单调增加；奇函数. 2

反余弦函数yarccosx

反正切函数yarctanx

反余切函数

yarccotx

2y 

x [1,1]

[0,]

2单调减少；

-1 o y o 21

x 2(,)

(,)

22

单调增加；奇函数；直线y为函2数图形的水平渐近线. y 

(,)

(0,)

x o 单调减少；奇函数；直线y0及y为函数图形的水平渐近线. 作业参考解答

1．选择题：

(1)下列各对函数中为同一函数的是(

) x21A．x与x

B．与x1

x12C．sin(arcsinx)与x

D．x2与|x|

x21答：D.

A中x与x的定义域相同，但对应法则不同；B中与x1的定义x1x21域不同，是{x|xR,x1}，x1是R；C中sin(arcsinx)与x的定义域不同，x12sin(arcsinx)是[1,1]，x是R；D中x2与|x|的定义域相同均为R，对应法则也相同x2|x|.

(2)f(x)1的定义域是(

) lg|x5|A．(,5)(5,)

B．(,6)(6,)

C．(,4)(4,)

D．(,4)(4,5)(5,6)(6,)

答：D. f(x)的定义域为x50，且|x5|1，即x4,5,6，故选D. (3)设f(x1)的定义域为[0,a](a0)，则f(x)的定义域为(

) A．[1,a1]

B．[1,a1]

C．[a1,a]

D．[a,a1]

答：A. f(x1)的定义域为[0,a](a0)，则0x1a，有1xa1。

(4)若f(x1)x(x1)，则f(x)(

) A．x(x1)

B．(x1)(x2)

C．x(x1)

D．不存在

答：A. 令ux1，则xu1，f(u)(u1)u，得到f(x)x(x1). (5)设f(x)x1,x02,x0x，则f(x2)(

) 2A．x21

B．2x

22x1x0x1x0C．x2

D．2

xx0x022222x1,x0x1,x0答：D. 因为f(x)2. 2x2x2,x02,x02(6)设f(x)1,0x1(x0及x2无定义)，则

2,1x2g(x)f(2x)f(x2)(

) A．无意义

B．在[0,2]上有意义

C．在[0,4]上有意义

D．在[2,4]上有意义

答：A. 因为g(x)的自变量x的范围是A.

(7)下列函数中为偶函数的是(

) 02x20x1，即，无解，故选0x222x4

A．xax210x10xcosx2

B．

C．xcosx

D．

2x2答：C. 因为，A中的f(x)xaxf(x)，

f(x)为奇函数，不选A；

B中f(x)cos(x)cosxf(x)，f(x)为奇函数，不选B；

xxC中f(x)x2cos(x)x2cosxf(x)，f(x)为偶函数，故选C；

10x10xD中，f(x)f(x)，f(x)是奇函数，不选D.

2(8)设f(x)在(,)单调增加，则下列函数中必定单调增加的是(

) A．f(x2)

B．f2(x)

C．tanf(x)

D．arctanf(x)

答：D. 因为f(x)x在(,)内单调增加，但f(x2)x2在(,0)内单减，在(0,)内单调增加，故不选A，同理可排除B；

tanx在(k,k)（kZ）内单调增加，故不选C；

22arctanf(x)在(,)内单调增加，故选D. (9)函数ylg(x1)在区间(

)内有界

A．(1,)

B．(2,)

C．(1,2)

D．(2,3)

答：D. 因为ylg(x1)的定义域为(1,). 当x(1,)时，y(,)；当x(1,2)时，y(,0)；当x(2,)时，y(0,)；当x(2,3)时，y(0,ln2). (10)函数y2x是(

) 1x2A．偶函数

B．非奇非偶函数

C．奇函数且有界

D．单调函数

答：C．因为y(x)2(x)2xy(x)，y为奇函数，不选A、B; 21(x)1x2y(23)y(2x)1，y不是单调函数，不选D；

22x1x2|y(x)|||1，y为有界函数.

1x21x2(11)下列(

)为初等函数

x21sin(e1),x1]A．y[

B．

yx1lg(1x2)0,x1x12C．y1x2(x1)

D．y2sinx

答：A. 因为B不可能用一个数学表达式表示，不选B；C、D无意义，不选.

(12)yx1的反函数是(

) A．yx21(x)

B．yx21(x0)

C．

yx21(x0)

D．yx21(x)

答：C. 因为yx1，xy21，y0，交换x和y得到yx21，x0，故选C. 2．填空题：

(1) 函数y12xx2arcsin2x1的定义域为

；

32xx20x22x00x2解：自变量的取值范围是2x1，即，得到，因此2x132x13|1|3定义域为D(y){x|0x1}. 11(2) 若f(x)x22，则f(x)

；

xx111解：因为f(x)x22(x)22，所以f(x)x22. xxx(3) 设f(x)ln(x1)，则f[f(x)]

；

解：f[f(x)]ln[f(x)1]ln[ln(x1)1]. exex(4) y的反函数是

；

2exex解：由y得ex2yex0，即e2x2yex10，22y4y24eyy21. 因为ex0，因此exyy21舍去. 2xexyy21，有xln(yy21)，交换x和y变量，得到反函数yln(xx21). (5) 函数ylg2arccosx3可看作

和

和

和

复合而成的. 解：函数ylg2arccosx3可看作yu2，ulgv，varccost，tx3复合而成. 3．求下列函数的定义域，并用区间表示出来：

arccos2x17

x2x6(6)y2x113x41解：自变量x有意义的范围是，

，即，得到函数7(x3)(x2)0x2x60的定义域为D(y){x|3x2或3x4}. 5．将函数y5|2x1|用分段形式表示，并作出函数的图形．

162x,x2

解：y5|2x1|2x4,x125 y

9．讨论下列函数的奇偶性：

(3)f(x)ln(x21x)

-2 5 1

23 x

解：(3) f(x)f(x)ln[(x)21(x)]ln(x21x)

ln(x21x)ln(x21x)ln(x21x2)0，

即f(x)f(x)，f(x)为奇函数. 14．求下列函数的反函数，并求出反函数的定义域：

(5)yf(x)2x1,0x122(x2),1x2

1解：

(5) 当0x1时，y2x1，得x(y1)，y[1,1]. 2当1x2时，y2(x2)2，得x22y，y(1,2]. 1(x1),1x1交换x和y，得反函数y2，

22x,1x217．指出下列各函数是由哪些基本初等函数复合而成的：

(4)ylnsin2x

解：

(4) ylnsin2x由ylnu，uv2，vsinx复合而成. 23．某商场以每件a元的价格出售某种商品，若顾客一次购买50件以上，则超过50件的商品以每件0.8a元的优惠价格出售，试将一次成交的销售收入R表示成销售量x的函数. 解：R(x)ax,0x50

50a0.8a(x50),x50.