习题2.1课程导入

2.1.2 指数函数及其性质（二）（一）教学目标1．知识与技能：（1）理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.（2）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；2．过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.3．情感、态度与价值观（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.（二）教学重点、难点1．教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.2．教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.（三）教学方法采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，利用多媒体教学，使学生通过观察图象，总结出指数函数的性质，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．从而培养学生的观察能力，概括能力.（四）教学过程教学教学内容

师生互动

设计意图

环节

复习复习指数函数的概念和图象.1.指数函数的定义生：复习回顾

复习旧知，为新课作铺垫. 师：总结完善

引入

一般地，函数yax（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.2.指数函数的图象

问题：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性. 形成图象特征

师：引导学生观察指数函数的图0＜a＜1 象，归纳出图象的特征.通过分析图a＞1 概念向x轴正负方向无限延伸

图象关于原点和y轴不对称

函数图象都在x轴上方

函数图象都过定点（0，1）

自左向右，生：从渐进线、对称轴、特殊点、象，得到图象的升降等方面观察指数函数的图象，归纳出图象的特征.师：帮助学生完善. 图象特征，为进一步

得到指数函数的性质作准备.

自左向右，图象逐渐上升

在第一象限内的图图象逐渐下降

在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 象纵坐标都大于1 生：从定义域、值域、定点、单0＜a＜1 调性、范围等方面研究指数函数的性质.概念函数性质

获得指数函数的性质.a＞1 深化

函数的定义域为R 非奇非偶函数

函数的值域为R+ 师：帮助学生完善.a=1 0增函数

减函数

x＞0，ax＞1 x＞0，ax＜1

x＜0，a＜1 xx＜0，a＞1 x

师：画出几个提出问题.问题：指数函数ya（a＞0且a≠1），x明确底数是确定指数函数的要素.

生：画出几个底数不同的指数函数图象，得到指数函数yax当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.

（a＞0且a≠1），当底数越大时，在第一象限的函数图象越高.（底大图高）

应用

举例

例1 求下列函数的定义域、值域

（1）y0.3（2）y3

课堂练习（P64 2）

例2（P62例7）比较下列各题中的个值的大小

（1）1.72.5

与

1.73 1x1例1分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象. 掌握指数函数的应用.

5x1解：（1）由x10得x1

所以函数定义域为

{x|x1}. 由10得y1，

x1所以函数值域为

{y|y0且y1}. （2）由5x10得x所以函数定义域为

1

51{x|x}. 5由5x10得y1，

所以函数值域为

{y|y1}.

例2解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出

( 2 )0.80.1与0.80.2

在图象上找出y1.7x的图象，横坐标分别为2.5, 3的点，显然，图象上横坐标就为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以

( 3 )

1.70.3

与

0.93.1

课堂练习：

1.已知a0.8,b0.8,c1.2,0.70.90.81.72.51.73.

解法2：用计算器直接计算：1.72.53.77

1.734.91

所以，1.72.51.73

解法3：由函数的单调性考虑

因为指数函数y1.7x在R上是增函数，且2.5＜3，所以，1.72.51.73

仿照以上方法可以解决第（2）小题

.

注：在第（3）小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合

.

由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小

.

练习答案

1. 1.20.80.80.70.80.9；

2. 当a1时，

按大小顺序排列a,b,c；

2.

比较a与a的大小（a＞0且a≠0）.

例3（P63例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

为1312则a

则aa.

分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：

1999年底

人口约为13亿

经过1年

人口约为13（1+1%）亿

经过2年

人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿

经过3年

人口约1312131213(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿

经过x年

人口约为13(1+1%)x亿

经过20年

人口约为13(1+1%)20亿

解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则

y13(11%)x

当x=20时，y13(11%)2016(亿)

答：经过20年后，我国人

口数最多为16亿.

小结：类似上面此题，设原值为N，平均增长率为P，则对于经过时间x后总量yN(1p)x,像yN(1p)x等形如ykaxKR，a＞0且a≠1）的函数称为指数型函数

.

归纳

本节课研究了指数函数性质及其应用，关总结

键是要记住a＞1或0＜a＜1时yax的图

学生先自回顾反思，教师点象，在此基础上研究其性质

.

评完善．

本节课还涉及到指数型函数的应用，形如识体系. 形成知ykax（a＞0且a≠1）.

课后

作业：2.1 第五课时

习案

作业

学生独立完成

巩固新知

提升能力

备选例题

例1

求下列函数的定义域与值域

（1）y21x4；

（2）y()；

（3）y4x2x11；

【分析】由于指数函数yax(a0且a1)的定义域是R，所以函数yaf(x)（a0且a1）与函数f(x)的定义域相同.利用指数函数的单调性求值域. 【解析】（1）令x40,得x4

23|x|定义域为{x|xR,且x4}. 10,2x41，

x4

1

∴y21x4的值域为{y|y0,且y1}. （2）定义域为xR. |x|≥0，

233y()|x|()|x|≥()01

3222|x|故y()的值域为{y|y≥1}. 3（3）定义域为xR. y4x2x11

(2x)222x1(2x1)2,

且2x0,y1. 故y4x2x11的值域为{y|y1}. 【小结】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性. 例2用函数单调性定义证明a＞1时，y = ax是增函数. 【解析】设x1，x2∈R且x1＜x2，并令x2 = x1 + h (h＞0，h∈R)，

则有ax2ax1ax1hax1ax1(ah1)，

∵a＞1，h＞0，∴ax10,ah1，

∴ax2ax10，即ax1ax2

故y = ax (a＞1)为R上的增函数，

同理可证0＜a＜1时，y = ax是R上的减函数.