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授课提示：对应学生用书第66页

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专题一

函数的零点与方程的根关系问题

1．函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

2．确定函数零点的个数有两个基本方法：一是利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．二是判断区间(a，b)上是否有零点，可应用f(a)·f(b)与0的关系判断．

11

设函数f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－)·f()<0，则方程f(x)＝220在[－1,1]内(

) A．可能有3个实根

C．有唯一的实根

[解析]

因为f(x)在[－1,1]上是增函数，

11且f(－)·f()<0，

2211所以f(x)在[－，]有唯一的实根．

22所以f(x)在[－1,1]上有唯一实根．故选C. [答案]

C

B．可能有2个实根

D．没有实根

1．设a

)

解析：可得x＝a，x＝b为y＝(x－a)2(x－b)＝0的两个零点．

当xb时，则f(x)>0.选C. 答案：C 2．若关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一根在(－2,0)内，另一根在(1,3)内．求a的取值范围．

解析：设f(x)＝3x2－5x＋a，则f(x)为开口向上的抛物线，

∵f(x)＝0的两根分别在(－2,0)(1,3)内．(如图所示) f－2>0f0<0∴f1<0f3>0

a<0即3－5＋a<03×9－5×3＋a>0解得－120

3．已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2m在[0,1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．

解析：(1)若方程x2－(m－1)x＋2m＝0在[0,1]上有两个相等的实根，则有

Δ＝m－1－8m＝0，此时无解．

m－10<<1，2(2)若方程x2－(m－1)x＋2m＝0有两个不相等的实根．

①当有且只有一根在(0,1)上时，

f0>0，f0<0有或

f1>0f1<0，2

2m>0，2m<0即或解得－20m＋2<0，

②当f(0)＝0时，m＝0，方程化为x2＋x＝0，

根为x1＝0，x2＝－1，满足题意；

③当f(1)＝0时，m＝－2，方程可化为x2＋3x－4＝0，

根为x1＝1，x2＝－4，满足题意．

综上所述：实数m的取值范围为[－2,0]．

专题二

函数模型及应用

1．函数模型的应用实例主要包含三个方面

(1)利用给定的函数模型解决实际问题；

(2)建立确定性函数模型解决实际问题；

(3)建立拟合函数模型解决实际问题．

2．解函数应用问题常见的错误以及克服的关键

(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；

(2)在求解过程中忽略实际问题对变量参数的限制条件．

克服的关键在于深入理解题意，用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻求已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识结合起来，建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点来求解．

某蔬菜基地种植青瓜，由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植成本Q(万元)与上市时间t(天)的关系如表所示：

种植成本Q(万元)

上市时间t(天)

150

50

100 150 模拟函数可以选用二次函数Q＝a(t－150)2＋b(a，b为常数，且a≠0)，或一次函数Q＝kt＋m(k，m为常数，且k≠0)．已知种植成本Q＝112.5万元时，上市时间t＝200天，则用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．

[解析]

设f(t)＝a(t－150)2＋b(其中a，b为常数，a≠0)，g(t)＝kt＋m(k≠0)．

f50＝150，由已知，得f150＝100，

g50＝150，

g150＝100.

a50－1502＋b＝150，所以2a150－150＋b＝100，

50k＋m＝150，

150k＋m＝100.

1a＝200，解得b＝100，

1k＝－2，

m＝175.

11所以f(t)＝(t－150)2＋100，g(t)＝－t＋175. 20021因为f(200)＝(200－150)2＋100＝112.5，

2001g(200)＝－×200＋175＝75，

21所以选用f(t)＝(t－150)2＋100作为模拟函数较好．

200

4．某店从水果批发市场购得两筐椰子，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚得78元，则这两筐椰子原来的总个数为(

) A．180

C．140

B．160 D．120 解析：设原来两筐椰子的总个数为x，成本价为a元/个，则

ax＝300，x＝120，解得

a＋1x－12＝300＋78，a＝2.5，x＝－30或(舍去)，故这两筐椰子原来共有120个．

a＝－10

答案：D 5．有A，B两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是M(万元)和N(万元)，13x它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式：M＝x，N＝，今有4万元资金投入经营A，22B两种商品．为获得最大利润，应分别对A，B两种商品的资金投入多少万元？

解析：设对A种产品投资x万元，则对B种产品投资(4－x)万元．

134－x于是获得总利润y＝x＋. 22x≥0，由得0≤x≤4. 4－x≥0，

令t＝4－x(0≤x≤4)，则x＝4－t2(0≤t≤2)．

131325所以y＝(4－t2)＋t＝－(t－)2＋(0≤t≤2)．

22228325于是，当t＝时，ymax＝(万元)．

287此时，x＝4－t2＝＝1.75(万元)，4－x＝2.25(万元)．

4故为了获得最大利润，对A种商品的资金投入为1.75万元，对B种商品的资金投入为2.25万元．

6.据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．

(1)当t＝4时，求s的值；

(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；

(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．

解析：(1)由图象可知：当t＝4时，v＝3×4＝12，

1∴s＝×4×12＝24. 213(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2，

22当10＜t≤20时，

1s＝×10×30＋30(t－10)＝30t－150；

211当20＜t≤35时，s＝×10×30＋10×30＋(t－20)×30－

×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋2270t－550. 2t，

t∈[0，10]，综上可知s＝30t－150，

t∈10，20]，－t＋70t－550，

t∈20，35].232

3(3)∵t∈[0,10]时，smax＝×102＝150＜650. 2t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450＜650. ∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650. 解得t1＝30，t2＝40，∵20＜t≤35，∴t＝30，

所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城．

专题三

函数与方程思想

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．我们把函数从变量之间的依赖关系推广为集合间的对应关系．函数的思想和方法是高中数学的一条主线，函数与方程思想是中学数学中最基本的数学思想．运用函数的思想和函数的基本性质，不仅能求方程的近似解，而且能解决很多实际生活中的问题．

若关于x的方程x2＋mx＋m－1＝0有一个正根和一个负根，且负根的绝对值

较大，求实数m的取值范围．

m[解析]

令f(x)＝x2＋mx＋m－1，其图象的对称轴为x＝－. 2因为方程x2＋mx＋m－1＝0有一个正根和一个负根，则函数f(x)有两个零点x1，x2. 由题意不妨设x1＞0，x2＜0，且|x2|＞|x1|，

画出函数f(x)的图象如图所示，

满足题设的充要条件为

f0＜0，m－1＜0，m⇒

m＞0，－＜0，2

⇒0＜m＜1. 即所求m的取值范围为(0,1)．

37．关于x的方程x2－x＝k在(－1,1)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

23解析：解法一：方程x2－x－k＝0在(－1,1)上有两个不相等的实数根，当且仅当2>0，ff1－1>0，3－2－1<－2×1<1，9k>－，16Δ>0，

k<－1，2即5k<，23－1<4<1，

91解得－

3解法二：方程x2－x＝k在(－1,1)上有两个不相等的实数根，当23y＝x2－2x，且仅当方程组x∈(－1,1)有两组解，即当且仅当函数yy＝k，3＝x2－x，x∈(－1,1)的图象与函数y＝k的图象有两个交点(交点的横2坐标就是原方程的解)，画出它们的大致图象，如图所示．

91由图象可以看出，当－

8．设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实数根的个数．

x－1>0，3－x>0，解析：原方程等价于a－x>0，x－13－x＝a－x，x－1>0，

①即3－x>0，

②x－13－x＝a－x，

③由①②，得1

在同一坐标系中，分别作出函数y1＝a及y2＝－x2＋5x－3(1或a≤1时，两函数图象无交点，即原方程无实数解．

413(2)当a＝或1

413(3)当3

4