小结教学设计及教案分析

§2.3幂函数教学案例

教学目标：

知识与技能

通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．

过程与方法

能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．

情感、态度、价值观

体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．

教学重点：

重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．

难点

画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．

教学程序与环节设计：

作业回馈

幂函数性质的初步应用．

尝试练习

幂函数性质的初步应用．

创设情境

问题引入．

组织探究

幂函数的图象和性质．

巩固反思

复述幂函数的图象规律及性质．

课外活动

利用图形计算器或计算机探索一般幂函数的图象规律．

教学过程与操作设计：

环节

教学内容设计

师生双边互动

阅读教材P90的具体实例（1）~（5），生：独立思考完思考下列问题：

1．它们的对应法则分别是什么？

创

2．以上问题中的函数有什么共同特

征？

设

（答案）

1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）结论．

情

求立方；（4）开方；（5）取倒数（或

求－1次方）．

境

2．上述问题中涉及到的函数，都是师生：共同辨析形如yx的函数，其中x是自变量，这种新函数与指是常数．

数函数的异同．

析归纳概括得出师：引导学生分成引例．

材料一：幂函数定义及其图象．

一般地，形如

yx(aR)

师：说明：

幂函数的定义来自于实践，的函数称为幂函数，其中为常它同指数函数、数．

对数函数一样，下面我们举例学习这类函数的一也是基本初等函组

织

探

究

些性质．

作出下列函数的图象：

12数，同样也是一种“形式定义”（1）yx；（2）yx；（3）yx2；

的函数，引导学（4）yx1；（5）yx3．

1

列表（略）

[解] ○2

图象

○生注意辨析．

生：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规

律．

师：引导学生应用画函数的性质

画图象，如：定义域、奇偶性．

师生共同分析，强调画图象易犯的错误．

环节

组

教学内容设计

材料二：幂函数性质归纳．

师生双边互动

师：引导学生观（1）所有的幂函数在（0，+∞）都察图象，归纳概

有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）0时，幂函数的图象通过质及图象变化规织

原点，并且在区间[0,)上是增函数．特律．

别地，当1时，幂函数的图象下凸；

当01时，幂函数的图象上凸；

探

（3）0时，幂函数的图象在区生：观察图象，

间(0,)上是减函数．在第一象限内，分组讨论，探究

当x从右边趋向原点时，图象在y轴右幂函数的性质和究

方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于图象的变化规

括幂函数的的性

时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正律，并展示各自半轴．

的结论进行交流评析，并填表．

材料三：观察与思考

观察图象，总结填写下表：

定义

域

值域

奇偶

性

单调

性

定点

yx

yx2

yx3

yx12

yx1

师：引导学生回

[例1]

比较下列两个代数值的大小：

（1）(a1)1.5，a1.5

顾讨论函数性质的方法，规范解题格式与步骤．

（2）(2a)，2

22323并指出函数单调性是判别大23

[例2] 讨论函数yx的定义域、奇小的重要工具，偶性，作出它的图象，并根据图象说明幂函数的图象可函数的单调性．

以在单调性、奇偶性基础上较快描出．

生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析．

环节

呈现教学材料

1．利用幂函数的性质，比较下列各

题中两个幂的值的大小：

尝

试

练

习

（1）2.3，2.4；

（2）0.31，0.35；

（3）(2)，(3)；

（4）1.1，0.9．

2．作出函数yx的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证321212师生互动设计

343465653232

明．

3．作出函数yx2和函数y(x3)2的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．

4．用图象法解方程：

x3x23．（1）xx1；

（2）

1．如图所示，曲线是幂函数yx在第一象限内的图象，已知探

究

与

发

现

分别取1,1,,2四个12

规律1：在第一象限，作直线xa(a1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下值，则相应图象依次到上的顺序，幂为：

．

指数按从小到大的顺序排列．

2．在同一坐标系内，作出下列函数

的图象，你能发现什么规律？

（1）yx和yx；

313规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线（2）yx和yx．

5445

yx对称．

1y．在函数

122,y2x,yxx,y1中，幂函数2x作业的个数为：

回馈

A．0

B．1

C．2

D．3

环节

呈现教学材料

2．已知幂函数yf(x)的图象过点(2,2)，试求出这个函数的解析式．

师生互动设计

3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．

（1）写出函数解析式；

（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；

（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率．

4．1992年底世界人口达到54．8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出：

（1）1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；

（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．

课

外

活

动

1．谈谈五个基本幂函数的定义域与收

对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关获

系？

与

体

2．幂函数与指数函数的不同点主要会

表现在哪些方面？

利用图形计算器探索一般幂函数

yx的图象随的变化规律．