信息技术应用 借助信息技术方程的近似解第一课时教学实录

§3.1.2用二分法求方程的近似解

教学目标 知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器、信息技术用二分法求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

过程与方法

在用计算器、信息技术求方程近似解的过程中了解二分法的数学思想，并为学习算法做准备．

情感、态度、价值观

体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

教学重点

通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

教学难点

恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

教材分析

本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献. 学情分析

通过本节课的学习，使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系；在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4.06中文版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象，掌握Microsoft Excel软件一些基本的操作. 教学媒体分析

多媒体微机室、Authorware7.02中文版、几何画板4.06中文版、Microsoft Excel、QBASIC语言应用程序

教学方法

动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践

教学环节设计流程图

§3.1.2用二分法求方程的近似解

教学目标 知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器、信息技术用二分法求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

过程与方法

在用计算器、信息技术求方程近似解的过程中了解二分法的数学思想，并为学习算法做准备．

情感、态度、价值观

体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

教学重点

通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

教学难点

恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

教材分析

本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献. 学情分析

通过本节课的学习，使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系；在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4.06中文版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象，掌握Microsoft Excel软件一些基本的操作. 教学媒体分析

多媒体微机室、Authorware7.02中文版、几何画板4.06中文版、Microsoft Excel、QBASIC语言应用程序

教学方法

动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践

教学环节设计流程图

教学设计理念

1.构建共同基础，提供发展平台；2.提供多样解法，适应个性选择；3.倡导积极主动、勇于探索的学习方式；

4.注重提高学生的数学思维能力；5.发展学生的数学应用意识；6.与时俱进地认识“双基”；7.强调本质，注意适度形式化；8.体现数学的文化价值；9.注重信息技术与数学课程的整合；10.建立合理、科学的评价体系.

教学过程与操作设计：

环教学内容设计

节

中外历史上的方程求解

在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座．虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．

由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数yf(x)的零点（即f(x)0的根），对于f(x)为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．我国古代数学家贾宪、秦九韶都比较系统地解决了部分方程求解的问题.在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式．

1824年，挪威年轻数学家阿贝尔（N. H. Abel，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解．1828年，法国天才数学家伽罗瓦（E.Galois，1811-1832）巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程．人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其它一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．

师：介绍中外历史上的方程求解问题，从高次代数方程解的探索历程引导学生认识引入二分法的意义，从而引入课题．

Authorware7.02生：感受到数学文化方课件展示

面的熏陶，最大限度的调动学生的学习兴趣，提高学习的积极性和主动性.

师生双边互动

信息技术应用

情

境

导

航

这节课就让我们来共同学习一下

§3.1.2《用二分法求方程的近似解》

想一想

我们已经知道，函数通过小游戏让学生f(x)lnx2x6在区间（2，3）内师：有零点，且f(2)＜0，f(3)＞0，由于体会二分法在生活中从而自然地通f(x)在定义域（0，+∞）内是增函数，的应用，所以它仅有一个零点.进一步的问题是，

探

索

发

现

过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范如何找出这个零点？ 围，那么在一定精确度

的要求下，我们可以得

[小游戏：看商品，猜价格] 到函数零点的近似值. 几何画板4.06

中文版演示计算做一做

结果

求函数f(x)lnx2x6的零点

（精确度0.1）

师：引导学生分析理解

取区间(2，3)的中点2.5，用计算器求区间(a，b)的中点

算得f(2.5)≈－0.084.因为

ab

．

f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间的方法x2

(2.5，3)内，

精确度为|3－2.5|=0.5＞

0.1

取区间(2.5，3)的中点2.75，用计

算器算得f(2.75)≈0.512. 因为

f(2.5)·f(2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，2.75)内，精确度为|2.75－2.5|=0.25＞0.1

教学内容设计

师生双边互动

信息技术应用

环节

取区间(2.5，2.75)的中点2.625，

用计算器算得f(2.625)≈0.215.因为

f(2.5)·f(2.625)＜0，所以零点在区

间(2.5，2.625)内，

精确度为|2.625－

2.5|=0.125＞0.1

取区间(2.5，2.625)的中点2.5625，

用计算器算得f(2.5625)≈0.066. 因师：这样，在一定精确Authorware7.02为

f(2.5)·f(2.5625)＜0，所以零点度下，我们可以在有限课件展示

在区间(2.5，2.5625)内，精确度为次重复相同步骤后，将|2.5625－2.5|=0.0625＜0.1 所得的零点所在区间当精确度为0.1时，由于|2.5625－内的任意一点作为函2.5|=0.0625＜0.1，所以，我们可以将数零点的近似值，特别可以将区间端点作x=2.5作为函数f(x)lnx2x6零地，点的近似值，也即方程lnx2x60为零点的近似值.

探

索

发

现

根的近似值.

探

索

发

现

议一议：你能说出二分法的意定义及用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤吗？

1.二分法的定义

b]上连续不断且满对于在区间[a，足f(a)·f(b)＜0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)．

2.给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：（在讲课过程中，为了便于学生理解，步骤有所简化）

(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度；

(2)求区间(a，b)的中点x1； (3)计算f(x1)： ○1

若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；

○2

若f(a)·f(x1)＜0，则令b=x（此时零点x0(a,x1)）；

○3

若f(x1)·f(b)＜0，则令a=x1（此时零点x0(x1,b)）；

(4)判断是否达到精确度；即若|ab|＜，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤2-4．

结论: 由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解，即求函数零点的近似值.

教学内容设计

师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．

师：分析条件

“f(a)·f(b)＜0

”、“精确度”、“区间中点”及“|ab|＜”的意义．

生：结合求函数

Authorware7.02课件展示

f(x)lnx2x6在区间（2，3）内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理．

环师生双边互动

信息技术应用

节

合

作

探

究

由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以借助几何画板4.06中文版软件和Microsoft Excel软件来完成计算. 求函数f(x)lnx2x6的零点（精确度0.1）

学生在教师引导下操作

师：

第一步：打开几何画板4.06中文版软件.

第二步：点击工具栏中的“图表”，选中“绘制新函数(Ctrl+G)”，或在工作区中点击右键，选中“绘制新函数”.

第三步：在弹出的对话框中输入lnx2x6

，点击“确定”.

几何画板4.06中文版

环教学内容设计

节

师生双边互动

信息技术应用

合

作

探

究

第四步：观察函数图象，确定零点所在的大致区间为(2，3).

第五步:打开

Microsoft Excel软件

第六步: 分别在单元格A1、B1、C1输入x、y、

精确度，在C2输入0.5，分别在A2、A3输入2、2.5，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值3时为止，完成自动填充.

几何画板4.06中文版

Microsoft Excel软件

环教学内容设计

节

师生双边互动

信息技术应用

第七步: 在B2单元格点击“粘贴函数”，

输入函数值公式

“=lnA2+2*A2-6”，得到与A2相应的函数值. 函数名：LN（number）

返回给定数值的自然对数

Number：准备求取其自然对数的正实数

第八步:然后双击(或拖动)B2的“填充柄”，得到与第一列相应的函数值.

生：观察所得函数值，所以零点在区间(2.5，3)内.

第九步：重复上述操作：将A1、B1、C1复制到A5、B5、C5，把精确度设为0.25，在A6、A7分别输入2.5、2.75，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值3时为止，完成自动填充.复制B3到 B6，得到与A6相应的函数值，然后双击(或拖动)B6的“填充柄”，得到与第一列相应的函数值.

生：观察所得函数值，所以零点在区间(2.5，2.75)内.

合

作

探

究

Microsoft Excel软件

环教学内容设计

节

合

作

探

究

结论：借助信息技术求方程近似解(函数零点)的步骤如下：

1.利用绘图软件(如：几何画板4.06中文版)画出函数图象，观察图象确定函数零点所在的大致区间；

2.利用Microsoft Excel软件逐步计算解答，达到要求的精确度为止；

3.得出方程的近似解．

程序语句：

INPUT “x1，x2， =”；x1，x2，

DO x=(x1+x2)/2 y1=LOG(x1)+2*x1－6 y=LOG(x)+2*x－6 IF y*y1＞0 THEN x1=x ELSE x2=x

END IF LOOP UNTIL ABS(x1-x2) ＜

 OR y=0 PRINT x1

END

第十步：重复上述过程，将精确度设为上次操作的一半，直到小于0.1为止，特别地，这时可以将区间端点作为零点的近似值.

生：观察所得函数值，并且精确度为0.0625＜0.1，所以零点在区间(2.5 ，2.5625)内，

x=2.5可以为函数

f(x)lnx2x6

的零点，即方程

lnx2x60的近似解.

师生双边互动

信息技术应用

Microsoft Excel软件

打开QBASIC文件

师：输入零点的大致区间和精确度，执行程序，检验程序运行结果的正确性．

知

识

拓

展

QBASIC语言

应用程序

程序语句：

INPUT “x1，x2， =”；x1，x2，

DO x=(x1+x2)/2 y1=LOG(x1)+2*x1－6 y=LOG(x)+2*x－6 IF y*y1＞0 THEN x1=x ELSE x2=x

END IF LOOP UNTIL ABS(x1-x2) ＜

 OR y=0 PRINT x1

END

环教学内容设计

节

尝试练习：

选择你喜欢的方式用二分法求方程2x3x7的近似解(精确度0.1) 解：

方法一：用计算器进行计算

方法二：借助信息技术

第一步：作出函数f(x)2x3x7的图象，观察图象确定函数零点所在的大致区间为 ；打开几何画板

第二步：利用Microsoft Excel软件逐步计算解答，达到要求的精确度为止.打开Excel

结论：

x=

可以为函数f(x)2x3x7的零点

(精确度0.1) 方法三：编写程序解答

1.有兴趣的同学可以自学QBASIC语言或其他计算机语言，编写程序，来检验做题结果正确与否. 2.查找有关资料或利用Internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增强探索精神，培养创新意识．

3.通过学习用二分法求方程的近似解（求打开QBASIC文件

师：输入零点的大致区间和精确度，执行程序，检验程序运行结果的正确性．

QBASIC语言

应用程序

师生双边互动

信息技术应用

学

以

致

用

函数名：POWER（number, power）

计算某数的乘幂

Number 底数，任何实数

Power 幂值

Authorware7.02课件展示

几何画板4.06中文版

Microsoft Excel软件

课

后

实

践

师：继续激发学生学习数学的热情；感受数学Authorware7.02文化方面的熏陶；充分课件展示

地利用学校资源进行后续学习和交流.

函数的零点），你对数学有了哪些新的认识？

将你这节课的收获与感受写成一篇小报告或小论文的形式，发表在学校的数学论坛上.