4.1 平方根教学设计一等奖

4.1平方根（1）（初二数学）

扬州市江都区第三中学 刘娟

【教材简解】

平方根是本章的重点内容，它是后面学习实数的准备知识，是学习二次根式，一元二次方程的基础。本节课主要介绍平方根的概念，如何用根号表示数的平方根，如何用平方运算求一些非负数的平方根。而下一节立方根的学***方根进行，因而平方根的学习必须要打牢基础。另外，从运算角度来看，加与减，乘与除，平方与开平方互为逆运算，所以平方根的概念在某种程度上也起到了承上的作用。 【目标预设】

知识与技能：1、知道平方根的概念，能熟练地求出一个非负数的平方根，会用根号表示一个数的平方根。

2、能描述平方根的特征，理解开方与乘方两者之间的联系与区别。

过程与方法：让学生在观察、探索等活动中，获得对非负数的平方根特点的认识。

情感、态度与价值观：

1、学生积极参与数学活动，培养其对数学的好奇心与求知欲。

2、通过数学活动，使学生获得成功的体验，并形成实事求是的态度。

【教学重难点】

教学重点：了解开方与平方互为逆运算，能熟练的用平方运算求一些非负数的平方根。

教学难点：用平方运算求一些非负数的平方根。

【设计理念】

要想让学生正确、牢固地掌握平方根的概念，需要由浅入深，不断深化的过程。概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的。概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的。概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化。

【教学过程】

师：今天由我来和大家一起学***方根（1）

学习之前，我们来复习一下，上一章我们学习了什么内容（ppt）

生：勾股定理

师：什么是勾股定理

生：直角三角形两条直角边a，b的平方和等于斜边c的平方（ppt）

师：用什么式子表示

生：a2+b2=c2 师：看来大家都掌握的很好。下面请大家用勾股定理帮老师解决一个问题（ppt）

情境一。如图：小方格的边长为1，你能算出图中AB,A’B’的长吗?

AA'BCB'C'

师：第一个图AB=？

生：AB=5 师：为什么？

生：∵AB2=42+32=25∴AB=5 师：那另一个图，A’B’=? 生：A’B’2=42+52=41 师：A’B’是多少呢？

看来我们的知识储备还不够，我们赶紧来补充能量，学习新内容。

大家还记得初一时，我们曾经遇到过这样一个问题

情境二：将两个边长为1的小正方形沿图中红线剪开

重新拼成一个面积为2的大正方形。

BCB'C'ADA'D'

师：大家还记得怎么拼吗？两位同学上来合作完成。几何画板演示

那大正方形的边长是多少呢？

生：。。。。。。。。。。

师：大家觉得有点困难，我们只知道他真实存在。

师：如果面积是4时，大家知道边长是多少吗？

生：2.因为22=4，所以边长是2 师：那面积是100，是169呢？边长又是多少呢？

生：因为102=100，所以边长是10 因为132=169，所以边长是13 师：那2与4,10与100,13与169之间有怎样的关系呢？

生：前者平方等于后者

师：很好，这就是我们今天要学习的新内容。板书§4.1平方根（1）

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根

师：所以我说4的平方根是2,100的平方根是10,169的平方根是13，对吗？

生：不对，（-2）2=4 （-10）2=100 师：很好，我们把刚刚的实际问题改一下。

如果一个数的平方等于4，那么这个数是多少？

当x2=4时，因为22=4，（-2）2=4所以x=±2 生：当x2=100时，因为102=100，（-10）2=100，所以x=±10 当x2=169时，因为132=169，（-13）2=169，所以x=±13 师：你们发现像这样的数，有几个平方根？

生：2个

师：只要满足x2=a，都是a的平方根。板书：1、定义：如果x2=a ，那么x叫做a的平方根

师：那2的平方根是多少呢？找不到一个数的平方等于2 生：。。。。。。。

师：其实早在公元前6世纪，人们就遇到了这样的问题

公元前6世纪，希腊有个学派叫做毕达哥拉斯学派，它的创始人毕达哥拉斯有这样一个信条： 宇宙间的一切数都能归结为整数和分数。

然而毕达哥拉斯有一个学生希伯索斯，他在研究勾股定理时，发现了一个新的数，

边长为1的等腰直角三角形，斜边是多少呢？他证明了这个数不是整数。

绞尽脑汁也找不到这个分数，所以他鼓起勇气向老师表明了自己的观点。

师：大家说，他会怎样

生：死了

师：因为他违背了毕达哥拉斯学派的信条，激怒了所有人，被石沉大海。

然而这样的数不会随着希伯索斯的死而消失。

由此引发了第一次数学危机，并把这样的数定义为无理数

师：为了进一步研究这样的数如何运算，我们设法用符号表示这样的数

2 5 ——板书

请大家现在来回答，情境二拼得的大正方形的边长是多少呢？

情境一直角三角形的斜边是多少呢？

师：是不是只有41的平方等于41呢

？

生：不是，还有-41

表示方法：正数a的正的平方根记作“a”

负的平方根记作“-a”

正数a的两个平方根记作“±a” 板书：a的平方根为±a

2的平方根是

±2 3的平方根是±3

4的平方根是 ±4 即±2 100的平方根是

±100 即±10 169的平方根是 ±169 即±13 师：能化简的要继续化简

算一算。下列各数有平方根吗？如果有，请写出来，如果没有请说明理由

9 5 94 0 - -8 -36 259解：9的平方根是±9，即±3 5的平方根是±5

993的平方根是，即

25255生：学生自己总结规律

非负数才有平方根。——板书：完善定义：a≥0 师：引导学生说出性质，分正数，负数，0（绝对值）

板书性质；一个正数有两个平方根，它们互为相反数

0的平方根是0 负数没有平方根

试一试：（1）如果7是一个数的平方根，那么这个数的另一个平方根是-7，这个数是7 （2）若代数x-的平方根只有一个，则x=

请同学板演：（3）如果a+3和2a-15是一个数的两个不相等的平方根

那么这个数是多少？

师：请大家说说看，我们学习过哪些运算？

生：加、减、乘、除、乘方、开方

师：加减，乘除分别互为逆运算，那么谁与乘方有这样的关系呢？就是今天我们学习的开方

勾股定理用的最多的平方，与它相对叫做开平方，开二次方。里面省略了2 ——完善定义：叫做二次方根

平方的结果叫做幂，开平方的结果叫做平方根

（±2）平方是4，4的开平方是（±2） 板书开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方运算互为逆运算

例题分析

例1.求下列各数的平方根

（1）25 （2）16 （3）15 （4）0.09 811313解：（1）25的平方根是±25，即±5 （2）16416,即

的平方根是±81819 （3）15的平方根是±15

（4）0.09的平方根是±0.09，即0.3

例2.解答下面问题

2m+2的平方根是±4 3m+n+1的平方根是±5 求m+2n的平方根。

课堂小结：

通过本节课的学习，同学们有什么收获呢？

作业布置：

1、完成相应随堂练习

（作业纸）

2、希伯索斯到底是怎样发现无理数的呢？请大家课后上网查阅资料。