同底数幂的除法全国优秀课堂实录

1.3同底数幂的除法（1）

一、学情分析：

小学学生就学习过数的除法，了解除数不能为0；七年级上学期又学习了有理数运算和整式的加减，理解了正整数指数幂的意义；在这一章前面几节课中还学习了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方三种幂的运算，会用法则进行计算并解决一些实际问题，具备了类比有理数的运算进行整式的运算的知识基础.理解和运用法则不是学生学习的难点，需要注意的是在计算时学生是否会混淆这四种幂的运算，可以通过分析算理和练习对比，帮助学生提高认识.教学时可以通过设计问题串，让学生经历观察、归纳、猜想、解释的过程来加深理解.

二、教学分析：

教科书基于学生已有的知识经验基础，提出了本课的具体学习任务：经历探索同底数幂除法运算法则的过程，发展学生的符号感和推理能力；会进行同底数幂的除法，并能解决一些实际问题；体会a01(a0)及ap=1（a0,p是ap正整数）的合理性，将法则拓广到零指数幂和负整数指数幂的范围. 学生经历代数的抽象、运算与建模等过程，掌握基本知识、基本技能；建立符号意识，在参与观察、猜想、证明等数学活动中发展合情推理和演绎推理能力，清晰的表达自己的想法；体验解决问题方法的多样性，发展创新意识. 三、教学目标：

1．知识与技能：会进行同底数幂的除法运算，并能解决一些实际问题；了解零指数幂和负整数指数幂的意义，能进行零指数幂和负整数指数幂的乘除法运算. 2．过程与方法：经历探索同底数幂除法运算性质的过程，进一步体会幂运算的意义，经历观察、归纳、猜想、解释等数学活动，体验解决问题方法的多样性，发展学生的合情推理和演绎推理能力以及有条理的表达能力. 3．情感与态度：在解决问题的过程中了解数学的价值，体会数学的抽象性、严谨性和广泛性. 四、教学重难点：

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教学重点：同底数幂的除法法则的探索和应用，理解零指数和负整数指数幂的意义，将运算法则拓广到整数指数幂的范围

教学难点：理解零指数幂和负整数指数幂的意义

五、教学方法：

讲练结合法

六、教学过程：

第一环节

复习回顾

前面我们学习了哪些幂的运算?

在探索法则的过程中我们用到了哪些方法？

（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加：amanamn

（m,n是正整数）

（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘：(am)namn（m,n是正整数）

（3）积的乘方等于积中各因数乘方的积：(ab)nanbn

(n是正整数) 设计意图：本堂课的学习方法仍是引导鼓励学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知，增强学生符号感.而这个过程离不开旧知识的铺垫，而同底数幂的乘法的推导过程，其中包含的算理知识在本堂课中仍是精神主旨，因而复习要细致. 学习同底数幂的除法要借助前面三种幂的运算的活动经验和知识基础，因此这个环节的目的是回顾前面的知识和方法，为下面自主探索、归纳法则做好铺垫.

第二环节

情境引入

一种液体每升含有 1012

个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀虫剂可以杀死 109

个此种细菌，

（1）

要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？

（2）

你是怎样计算的？

（3）

你能再举几个类似的算式吗？

设计意图：用实际背景来引入同底数幂的除法，让学生体会数学与现实生活

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的紧密联系，而这个问题学生运用有理数知识就能解决，为下面类比解决“式”的问题提供思路，第（3）问的目的是帮助学生抓住“同底数幂”“相除”这些本质特征，同时也为进一步的探索提供素材. 第三环节

归纳法则

1.计算你列出的算式

2.计算下列各式，并说明理由（m>n）

11

(1)10m10n;

(2)(3)m(3)n;

(3)()m()n;

223.你能用字母表示同底数幂的除法运算法则并说明理由吗？

设计意图：让学生从有理数的运算出发，由特殊逐渐过渡到一般，得到同底数幂的运算法则：amanamn(a≠0，m,n是正整数，且m>n)，再运用幂的意义加以说明.在此过程中，发展学生类比、归纳、符号演算、推理能力和有条理的表达能力.这里的教学方式可以根据上一环节学生的举例情况灵活处理：

第四环节：夯实基础

例1 计算：

(1)a7a4;

(2)(x)6(x)3;

(3)m8m2;

(4)(xy)4(xy);

(5)b2m2b2;

(6)(mn)8(mn)3;

设计意图：这里为了更加全面的巩固同底数幂除法运算，在教材的基础上增加了（3）和（6）两个小题，这些题目由易到难，目的在于逐渐加深学生对同底数幂的除法的理解，帮助学生体会amanamn中的a可以代表数，也可以代表单项式、多项式等. 第五环节

探索拓广

（一）探索

1. 做一做：

104 =10000， 24 =16

10（）=1000， 2（）=8

10（）=100， 2（）=4

10（）=10， 2（）=2

2. 猜一猜：

3

下面的括号内该填入什么数？你是怎么想的？与同伴交流：

10 10（）=1 2=0.1 2（）=1

1=

2（）（）1 10=0.01 2=

4（）（）110=0.001 2= 83.你有什么发现？能用符号表示你的发现吗？

4.你认为这个规定合理吗？为什么？

（）（）设计意图：学习了有理数的乘方和前面几种幂的运算后，学生对正整数指数范围内幂的意义理解的很好：当p为正整数时，ap表示p个a相乘，但是a0不能理解成0个a相乘，同样ap也不能理解成-p个a相乘，因此理解零指数幂和负整数指数幂的意义对学生而言是个难点.教科书设计了“想一想”和“猜一猜”通过简单的有理数幂的探索，让学生猜想得到零指数幂和负整数指数幂的意义.让学生完整的经历观察、归纳、猜想、解释的过程，从而感悟先由具体问题概括出结论，再通过一般性证明来说明结论的合理性这样一个解决问题的方法，数学合情推理和演绎推理能力的培养就蕴含在这样的思维过程之中.同时，不同的解释思路可以帮助学生从不同的角度、更好地理解零指数幂、负整数指数幂的意义. （二）拓广

1. 例2 计算：用小数或分数分别表示下列各数：

(1)103(2)7082;(3)1.6104

2. 议一议：计算下列各式，你有什么发现？与同伴交流

11(1)7375;(2)3136;(3)()5()2;(4)(8)0(8)2

223. 当指数拓广到零和负整数范围后，我们前面学过的同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的运算法则是否也成立呢？

设计意图：活动1目的是巩固学生对零指数幂和负整数指数幂意义的理解，活动2、3将所有幂的运算法则都拓广到整数指数幂的范围，可以帮助学生形成完整的知识体系.

第五环节

反馈延伸

反馈练习：

1.下面的计算是否正确？如有错误请改正：

4

(1)b6b2b3;

(2)a10a1a9;

(3)(bc)4(bc)2b2c2;

(4)xn1x2n1xn.

2.计算

(1)(y)3(y)2;

(2)x12x4;

(3)mm0;

(4)(r)5r4;

(5)knkn2;

(6)(mn)5(mn)

拓展延伸：（1）(ab)8(ba)3

（2）（－38）÷（－3）4

设计意图：运算能力的形成不是一蹴而就的，它的发展是从简单到复杂，从低级到高级，从具体到抽象，有层次地进行的，因此这里设计了由易到难的两组练习题，对本节课所学的知识进行巩固和拓展，发展学生的运算能力. 第六环节

课堂小结

1.

这节课你学到了哪些知识？

2.

现在你一共学习了哪几种幂的运算？它们有什么联系与区别？谈谈你的理解

3.

我们在探索运算法则的过程中用到了哪些方法？

设计意图：本节课是幂的运算中最后一节，因此这里不仅回顾了本节课所学的内容，还将这四种幂的运算进行了对比，对探索过程中的类比、归纳等数学方法进行回顾.这样设计的目的是加深学生对四种幂的运算的理解，更好地形成知识体系，帮助学生体会解决问题的思路与方法的共性. 第七环节

布置作业

1．完成课本习题1.4 七、教学设计反思：

1.关注知识和方法的前后衔接

在本节课的教学设计中有以“旧”引“新”：

借助前面的经验让学生自主探索同底数幂的除法法则，在多个环节中类比“数”来解决“式”的问题；也有讲“新”联“旧”：将新学的和前面三种幂的运算法则都拓广到整数指数幂的范围，在小结中对四种幂的运算进行对比回顾.这样的设计充分利用了学生原有的知识和经验基础，有利于学生知识体系的形成，让学生深刻体会了解决不同的问题时蕴涵的相同数学思想方法.

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2.改进教学和评价方式，为学生提供自主探索的机会

数学教学活动，应激发学生的兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考；学生学习应当是一个生动活泼的、主动地和富有个性的过程，因此我们的数学课堂应该努力改进教学和评价的方式，给学生提供更多自主探索的机会.在这节课的设计中就进行了一些尝试：在学习“探索同底数幂的除法法则”和“将幂的运算拓广到整数指数幂范围”这两个重点时，根据学生已有的知识和经验基础，将举特例到一般验证的过程大胆的放手给学生，教师只做适当的引导，让学生通过自主探索、合作交流的方式完成了对知识和方法的学习. 对学生的评价也作出了相应的改进：不仅关注习题的正确率，而且更加注重对学生以下两方面的评价：一是学生在活动中的投入程度，如是否能积极主动地投入活动，向同伴解释自己的想法，听取别人的意见和建议等；二是学生在活动中的水平，如是否能通过独立思考探索出运算法则，是否能有条理的表达自己的思考过程，是否有独特的解决问题的方法，是否能进行反思并提出一些新的问题等.采用这样的教学和评价方式可以更好地提高学生解决问题的能力，丰富他们解决问题的策略，从而实现对数学思维的培养.

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