2.1.1 函数的概念和图象教学内容概述

函数的概念

辛集市第二中学 刘颖

【教学目标】

1．让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应，了解构成函数的三要素；

2．使学生理解函数概念及函数符号f(x)的意义

3．会求一些简单函数的定义域、值域．

【教学重点】

函数概念的形成，正确理解函数的概念. 【教学难点】

发展学生的抽象思维能力，使学生理解函数概念的本质．

【难点突破】

1．让学生经历函数概念的形成过程，函数的辨析过程，函数定义域、值域的求解过程，渗透归纳推理； 2．通过经历以上过程，让学生体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，体验函数思想，通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛围中，感受数学的抽象性和简洁美．

【教学方法】

探究式．

【教学手段】

多媒体PPT与板书相结合．

【教学过程】

一、回忆旧知，引出困境

我们在初中学过函数，请举出初中学过的函数．

2问题一：你能具体给出一些初中学过的函数吗？

(y＝3x，y＝，y＝x2等) x

问题二：请同学们回忆初中函数的定义是什么？

在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量．

问题三：y＝0 (x∈R)是函数吗？

（先请学生回答，有很大的可能会形成两种意见．对两种意见展开讨论，让学生说明自己的判断理由，形成认知冲突．）

其实，利用初中所学的函数知识很难回答这个问题．为此我们还需要进一步研究函数的概念．（PPT打出课题，老师板书课题）

二、分析实例，形成概念

在丰富多彩的现实生活中，我们可能会遇到下列实际问题．

实例1从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至2011年人口数据资料如表1所示，你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？

表1 1949至2011年我国人口数据表

年1941951951964196197197198198199199200201

9 份

9 4 9 4 9 4 9 4 9 4 1 人542 603 672 705 807 909 975 103110117124130134口5 7 7 6 0 0 数[来源:学*科*网Z*X*X*K]

/百万

事实上生活中这样的实例有很多，随着改革开放的深入，我们的生活水平越来越高，需求越来越大，而人口数量的变化趋势也将直接影响我国各种政策的制定．表1给出了改革开方以来我国人口变化的情况．

实例2

一物体从490 m高空由静止开始下落到地面，下落的距离y（m）与下落时间x（s）之间近似地满足关系式y＝4.9x2．

（1）若物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？

（2）在此例中，x（s）的范围是什么？y（m）的范围是什么？

再如，一天气温也是影响人们舒适感的一个重要依据，实例3给出了某市一天24小时的气温变化图．

实例3

图1为某市一天24小时内的气温变化y图. （1）上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？

10（2）在什么时刻，气温为0℃？

8（3）在什么时段内，气温在0℃以上？

6探究1：如何利用集合语言来阐述上述3个问4题的共同特点？

2共同特点一：每一个问题均涉及两个非空数集，O试说出三个问题中的集合A、B分别是什么？

24681012141618202224x共同特点二：存在某种对应法则，对于A中任-2意元素x，B中总有一个元素y与之对应。

函数的定义：

图1 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数（function），通常记为

y＝f(x)，x∈A．

其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域（domain），将所有输出值y组成的集合称为函数的值域（range）．

探究2：对于初中我们学习过的函数，指出定义域，值域和对应法则。

四、结合典例，理解概念

这样我们容易判断，前面的三个实例都表示两个集合间的函数关系．我们回头再想问题三．

再看问题三：y0(xR)是函数吗？为什么？

（是，完全满足函数的定义，请同学们指出集合A、B及对应法则f．）

下面我们先来看两个例题：

例1

判断下列对应是否为函数：

2（1）x →

，x≠0,x∈R；

x（2）x →

y，这里y2＝x，x∈N，y∈R．

分析：判断对应是否构成函数的依据只有定义，所以我们只要判断是否满足定义即可．

[来源学§科§网][来源:Z。xx。k.Com]

22解

（1）对于任意一个非零实数x，被x惟一确定，所以当x≠0时x →

是函数，这xx2个函数也可表示为f(x)＝

（x≠0）．

x（2）考虑输入值为4，即当x＝4时输出值y由y2＝4给出，y＝2和y＝－2．这里一个输入值与两个输出值对应（不是单值对应），所以，x →

y（y2＝x）不是函数．

变式训练：判断下列图象能表示函数图象的是：

由此看来，判断对应是否为函数对应，关键是依据定义，请同学们再审视定义，完成问题六．

提升总结：判断一个对应是否为函数的依据：

(1)看是否符合函数的概念；

(2)函数是一种数集到数集之间的对应关系，可以是一对一，可以是多对一，但不能是一对多。

例2

求下列函数的定义域：

1（1）f(x)＝x－1；

（2）g(x)＝．

x+1分析：本题中函数定义域就是找使函数解析式有意义的输入值x的范围．

解

（1）因为当x－1≥0时，即x≥1时，x－1在实数范围内有意义；当x－1＜0时，即x＜1时，x－1在实数范围内没有意义，所以这个函数的定义域是．

11（2）因为当x＋1≠0时，即x≠－1时，有意义；当x＋1＝0时，即x＝－1时，x+1x+1没有意义，所以这个函数的定义域是{x| x≠－1, x∈R}．

（以上过程是教材上的解题过程，用PPT打出，老师可板书简捷一点的过程，如：（1）由x－1≥0解得x≥1，从而函数f(x)＝x－1的定义域为{x|x≥1，且x∈R}．）

变式训练：求下列函数的定义域：

(1) f(x)13x；

(2) f(x)1

x21例3

求下列函数的值域：

（1）f(x)＝(x－1)2+1，x∈{－1,0,1,2,3}；

（2）f(x)＝(x－1)2+1．

分析：在做此例之前，先请同学思考：怎样理解符号f(x)? （在法则f下，x所对应的函数值，并结合生活实例说明．而值域C＝{y|y＝f(x),x∈A}，为B的子集）

解

（1）函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，因为f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5, 同理

f(0)＝2, f(1)＝1, f(2)＝2, f(3)＝5，

所以这个函数的值域为{1,2,5}. （2）函数的定义域为R，因为

(x－1)2＋1≥1 所以这个函数的值域为{y|y≥1}. 说明：求函数的值域先交代（或求出）函数的定义域，然后再考查输出值的范围．

变式训练：求下列函数的值域：

(1) f(x)＝(x－1)2－1；(2)f(x)=x＋1，x∈(1，2]

五、课堂训练：

1的定义域是__________；

x1x12.已知函数f(x)，则f(2)=________；

x113.反比例函数y的值域为____________；

x5x4.求下列函数的定义域(1) f(x)；(2) f(x)x12x

x31.函数y六、作业

分层作业

A．教材

第24页

练习1，2，3 B．教材 第28页 习题2.1（1） 1，2，5

C．教材 第28页 习题2.1（1） 8，9，10 【板书设计】

[来源:Zxxk.Com]函数的概念

一、概念

设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数（function），通常记为

y＝f(x)，x∈A．

二、分析

三对应法则（非空数集，每一个，惟一的）

要定义域 A (不作说明即为式子有意义) 素值 域 C＝{y|y=f(x),x∈A}B

例题：

PPT投影