2.1.1 函数的概念和图象教案和学案内容

函数的概念

江苏省宜兴市张渚高级中学 卢正军

【教学目标】

1．让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应，了解构成函数的三要素；

2．使学生理解函数概念及函数符号f(x)的意义

3．会求一些简单函数的定义域、值域．

【教学重点】

函数概念的形成，正确理解函数的概念. 【教学难点】

发展学生的抽象思维能力，使学生理解函数概念的本质．

【难点突破】

1．让学生经历函数概念的形成过程，函数的辨析过程，函数定义域、值域的求解过程，渗透归纳推理； 2．通过经历以上过程，让学生体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，体验函数思想，通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛围中，感受数学的抽象性和简洁美．

【教学方法】

探究式．

【教学手段】

多媒体PPT与板书相结合．

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

同学们，我是江苏省苏州实验中学一名教师，昨天下午14:00点我怀着激动的心情，亲自驾车从我工作的学校历经80公里来到这里，也就是张家港高级中学报到．在此过程中，我和张家港高级中学的距离随时间是如何变化的？数学上可以用

来描述这种运动变化中的数量关系．（函数）

二、回忆旧知，引出困境

我们在初中学过函数，请举出初中学过的函数．

2问题一：你能具体给出一些初中学过的函数吗？

(y＝3x，y＝，y＝x2等) x

问题二：请同学们回忆初中函数的定义是什么？

在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量．

问题三：y＝0 (x∈R)是函数吗？

（先请学生回答，有很大的可能会形成两种意见．对两种意见展开讨论，让学生说明自己的判断理由，形成认知冲突．）

其实，利用初中所学的函数知识很难回答这个问题．为此我们还需要进一步研究函数的概念．（PPT打出课题，老师板书课题）

三、分析实例，形成概念

在丰富多彩的现实生活中，我们可能会遇到下列实际问题．

实例1

一物体从490 m高空由静止开始下落到地面，下落的距离y（m）与下落时间x（s）之间近似地满足关系式y＝4.9x2．

（1）若物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？

（2）在此例中，x（s）的范围是什么？y（m）的范围是什么？

事实上生活中这样的实例有很多，随着改革开放的深入，我们的生活水平越来越高，需求越来越大，而人口数量的变化趋势也将直接影响我国各种政策的制定．表1给出了改革开方以来我国人口变化的情况．

实例2

从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至2011年人口数据资料如表1所示，你能根据这

个表说出我国人口的变化情况吗？

表1 1949至2011年我国人口数据表

年份

1949 1954 1959 19641969 1974 1979 1984 1989 1994 1999 2004 2011

人口数/百万

542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246 1300 1340 再如，一天气温也是影响人们舒适感的一个重要依据，实例3给出了某市一天24小时的气温变化图．

实例3

图1为某市一天24小时内的气温变化y图. （1）上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？

10（2）在什么时刻，气温为0℃？

8（3）在什么时段内，气温在0℃以上？

6问题四：实例一、二、三在呈现形式等方面有4什么不同？

2问题五：实例一、二、三有什么共同的特点？

O（让学生充分讨论，在老师的引导下找出以下24681012141618202224x共同点：①都有两个非空数集A、B；②两个数集之-2间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一图1 确定的y值和它对应.）

满足以上共同特点的两个数集的对应关系，我们把它叫做什么呢？（函数，请学生根据前面概括的共同特征，拟定函数的新定义，老师做必要补充．）

函数的概念：

一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数（function），通常记为

y＝f(x)，x∈A．

其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域（domain），将所有输出值y组成的集合称为函数的值域（range）．

四、结合典例，理解概念

这样我们容易判断，前面的三个实例都表示两个集合间的函数关系．我们回头再想问题三．

再看问题三：y0(xR)是函数吗？为什么？

（是，完全满足函数的定义，请同学们指出集合A、B及对应法则f．）

下面我们先来看两个例题：

例1

判断下列对应是否为函数：

2（1）x →

，x≠0,x∈R；

x（2）x →

y，这里y2＝x，x∈N，y∈R．

分析：判断对应是否构成函数的依据只有定义，所以我们只要判断是否满足定义即可．

22解

（1）对于任意一个非零实数x，被x惟一确定，所以当x≠0时x →

是函数，这个函数也可表xx2示为f(x)＝

（x≠0）．

x2变题1：x →

，x∈R；

（不是，不满足任意性）

x2变题2：x →

，x∈{x∈R|x2＋1＝0} （不是，不满足集合A，B的非空性）

x（2）考虑输入值为4，即当x＝4时输出值y由y2＝4给出，y＝2和y＝－2．这里一个输入值与两个输出值对应（不是单值对应），所以，x →

y（y2＝x）不是函数．

[来源:学*科*网Z*X*X*K][来源学§科§网][来源:Z。xx。k.Com]

由此看来，判断对应是否为函数对应，关键是依据定义，请同学们再审视定义，完成问题六．

问题六：函数概念中的关键词是什么？请用简洁的语言说明．

（通过交流得出以下几点：①A、B都是非空的数集；②任意性与唯一性；③确定的对应关系，对应关系f可以以解析式、图象、表格等形式呈现．）

这样，函数概念里展现出对应有非空、任意、惟一等三个关键性用词。以后我们称函数的定义域、值域和对应法则为函数的三要素，而三要素也是判断函数是否相同的重要依据．

（考查实例一及问题一中给出函数的三要素，并指出以解析式形式呈现的函数，如果没有指明定义域，那么就认为它的定义域是指使函数解析式有意义的输入值的集合．）

例2

判断下列各组函数是否为同一函数：

x2－1（1）y＝与y＝x＋1; x－1（2）y＝x2与y＝x；

（3）y＝x2与u＝t2．

分析：函数相同，必须定义域、值域和对应法则三要素均相同．

解：（1）不是相同函数，因为定义域不同；

（2）不是相同函数，因为对应法则不同；

（3）是相同函数．

说明：两个函数是否同同，只与函数的对应法则f和定义域A有关，而与函数用什么字母表示无关．

例3

求下列函数的定义域：

1（1）f(x)＝x－1；

（2）g(x)＝．

x+1分析：本题中函数定义域就是找使函数解析式有意义的输入值x的范围．

解

（1）因为当x－1≥0时，即x≥1时，x－1在实数范围内有意义；当x－1＜0时，即x＜1时，x－1在实数范围内没有意义，所以这个函数的定义域是．

11（2）因为当x＋1≠0时，即x≠－1时，有意义；当x＋1＝0时，即x＝－1时，没有意义，所x+1x+1以这个函数的定义域是{x| x≠－1, x∈R}．

（以上过程是教材上的解题过程，用PPT打出，老师可板书简捷一点的过程，如：（1）由x－1≥0解得x≥1，从而函数f(x)＝x－1的定义域为{x|x≥1，且x∈R}．）

例4

求下列函数的值域：

（1）f(x)＝(x－1)2+1，x∈{－1,0,1,2,3}；

（2）f(x)＝(x－1)2+1．

分析：在做此例之前，先请同学思考：怎样理解符号f(x)? （在法则f下，x所对应的函数值，并结合生活实例说明．而值域C＝{y|y＝f(x),x∈A}，为B的子集）

解

（1）函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，因为f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5, 同理

f(0)＝2, f(1)＝1, f(2)＝2, f(3)＝5，

所以这个函数的值域为{1,2,5}. （2）函数的定义域为R，因为

(x－1)2＋1≥1 所以这个函数的值域为{y|y≥1}. 说明：求函数的值域先交代（或求出）函数的定义域，然后再考查输出值的范围．

五、对比总结，深化概念

同学们，今天，我们在初中函数定义的基础上，运用集合与对应的语言重新刻画了函数，比较两个函数的定义，同学们有什么新的认识？

问题七：请谈一谈你对函数的概念有什么新的认识？本课你学会了什么？

六、即时训练，巩固概念

练习：

1．下列四组对应中，是函数的序号为

. 1①x

→

－x, x∈R；

②x

→

y, 其中y＝|x|，x∈R,y∈R；

2③t

→

s, 其中s＝t2，t∈R,s∈R；

④t

→

s, 其中t＝s2，t∈R,s∈R．

2．若f(x)＝x－x2，则f(0)＝

，f(1)＝

，f(n＋1)－f(n)＝

．

13．函数f(x)＝2的定义域为

．

x－14．函数f(x)＝x＋1，x∈{－1,1}的值域为

．

七、作业

1.实践作业

举出生活中函数的例子（两个以上），并用集合与对应的语言来描述函数；

2.分层作业

A．教材

第24页

练习1，2，3 B．教材 第28页 习题2.1（1） 1，2，5

C．教材 第28页 习题2.1（1） 8，9，10 3.预习作业

预习教材第25页至28页内容，并完成第28页练习1,2,3. [来源:Zxxk.Com]

【板书设计】

函数的概念

一、概念

设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数（function），通常记为

y＝f(x)，x∈A．

二、分析

三对应法则（非空数集，每一个，惟一的）

要定义域

素值 域

PPT投影

y＝3x，x∈R 2y＝，x≠0

xy＝x2，x∈R y＝4.9x2，

0≤x≤10 [来源学科网Z,X,X,K]

函数的概念

一、概念

设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数（function），通常记为

y＝f(x)，x∈A．

二、分析

三对应法则（非空数集，每一个，惟一的）

要定义域 A (不作说明即为式子有意义) 素值 域 C＝{y|y=f(x),x∈A}B

例题：

PPT投影