3.4.1 函数与方程优质课教案设计

§3.4.1函数与方程

班级： 姓名： 【学习目标】：

1.会利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；

2.了解函数的零点与方程根的联系，体会函数与方程之间的联系；

3.体验并理解函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想．

4.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用法；

【学习过程】：

一、自主先学：

活动一：函数的零点的概念. 1.

画出函数yx22x3的图象，观察图象，当y0时，x_______.

一般地，对于函数yf(x)xD，我们把______________________________叫做函数yf(x)

xD的零点．

2.填表

b24ac

0 0

0

yax2bxc(a0)的图象

的根

ax2bxc0(a0)yax2bxc(a0)的零点

3.函数的零点与对应方程的关系

函数yf(x)的零点函数yf(x)的图象__________________________. 方程f(x)0_________________________________. 4.判断下列函数是否有零点，若有，则求出其零点. 222（1）y2x3； （2）yx4x； （3）y-3x9； （4）f(x)x3x2

1

活动二：零点存在性定理.

对于函数f(x)x22x1: （1）f(1)f(1)___0，它在区间(1,1)___（有、无）零点. （2）f(2)f(3)___0，它在区间(2,3)___（有、无）零点. 一般地，若函数yf(x)在区间________上的图象是一条不间断的曲线，且______________则函数yf(x)在区间________上有零点. 思考：f(x)x22x1，f(1)f(4)___0，它在区间(1,4)___（有、无）零点. 若x0是函数yf(x)的零点，且mx0n，那么f(m)f(n)0一定成立吗？

活动三：二分法.

阅读课本p9395完成下题.

31.用二分法研究函数f(x)x-3x+1的零点时，第一次经过计算f()0，f(0)0，可得到零点12x0 ，第二次计算 ，这时可判断x0 .

二、小组讨论，交流展示: 练习1 ：求证：二次函数f(x)x2+6x+4有两个不同的零点

练习2：求证：函数f(x)x+3x-1在区间（0,1）上有零点

变式1：函数f(x)4x+x-15在区间[1,2]上是否有零点？为什么？

变式2：方程3x0在区间[-1,0]上有实数解吗？为什么？

2

x233

练习3：方程xax70的两个根一个大于2，另一个小于2，求实数a的取值范围.

练习4：方程5xmx10的一个根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求实数m的取值范围.

【反思小结】：

【检测反馈】：

1.函数f(x)x2axb的两个零点是2和4，则a_______;b______. 2.函数f(x)x2mx3

有两个零点，则实数m的取值范围为 . 3.下列函数，在区间(1,2)上一定存在零点的是 . （1）f(x)3x4x5 （2）f(x)2x5x5

4.函数f(x)3ax2a1在1,1上存在一个零点，则实数a的取值范围为 . 5.已知函数为偶函数，且图象与x轴有4个交点，则该函数的所有零点之和为 . 6.估算方程5x7x10的正根所在的区间是 （区间长度为1）. 7.函数yx

2222321零点的个数为 . x

3

【拓展提高】

1.函数yf(x)的图像是连续不断的，其部分对应值如下表：

x

1 2 3 4 5 6 f(x) 136.136 15.552

则零点所在区间为 . -3.92 -52.488 -10.88 232.064 2、若函数ymx26x2的图象与x轴只有1个公共点，求m的值。

23、方程3tx(37t)x40的两个根,满足012，求实数t的取值范围.

4