3.4.1 函数与方程新颖的课程导入教案

§2.8

函数与方程

最新考纲

考情考向分析

利用函数零点的存在性定理或函数的图象，结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.

对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)三个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

与x轴的交点

零点个数

知识拓展

有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(x1 ,0)，(x2,0) 2

(x1,0)

1

无交点

0

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(

×

) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(

×

) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(

√

) (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)

√

) 题组二

教材改编

22．[P92A组T5]函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(

) xA．(1,2)

1C.e，1和(3,4)

答案

B 2解析

∵f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0 3且函数f(x)的图象连续不断，f(x)为增函数，

∴f(x)的零点在区间(2,3)内．

3．[P88例1]函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．

答案

1 1解析

由已知得f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，e因此函数f(x)有且只有一个零点．

1x4．[P92A组T4]函数f(x)＝x－2的零点个数为________．

答案

1 1x解析

作函数y1＝x和y2＝2的图象如图所示，

1212B．(2,3) D．(4，＋∞)

由图象知函数f(x)有1个零点．

题组三

易错自纠

5．已知函数f(x)＝x－x(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为x1，x2，x3，则(

) A．x1

C．x2

答案

C 解析

作出y＝x与y1＝x，y2＝－ex，y3＝－ln x的图象如图所示，可知选C. B．x2

D．x3

x2－1，x≤1，6．已知函数f(x)＝则函数f(x)有______个零点．

1＋logx，x>1，2

答案

1 解析

当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；

1当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数f(x)2只有1个零点．

7．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．

1答案

3，1

解析

∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得

f(－1)f(1)<0，

∴(－3a＋1)·(1－a)<0，

1解得

31∴实数a的取值范围是3，1.

题型一

函数零点所在区间的判定

1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(

) A．(0,1)

C．(2,3)

B．(1,2) D．(3,4)

答案

B 解析

∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，

∴f(1)·f(2)<0，

∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，且为增函数，

∴f(x)的零点所在的区间是(1,2)．

2．若a

) A．(a，b)和(b，c)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内

答案

A 解析

∵a0，

f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，

由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A. 1x－23．设函数y1＝x3与y2＝2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是______．

答案

(1,2) 1x－2解析

令f(x)＝x3－2，则f(x0)＝0，易知f(x)为增函数，且f(1)<0，f(2)>0，

∴x0所在的区间是(1,2)．

思维升华

确定函数零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点存在性定理；

(2)数形结合法．

题型二

函数零点个数的判断

B．(－∞，a)和(a，b)内

D．(－∞，a)和(c，＋∞) 2x－2，x≤0，典例

(1)函数f(x)＝的零点个数是________．

2x－6＋ln x，x>0

答案

2 解析

当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；1当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

x又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2. πx(2)函数f(x)＝4cos2·cos2－x－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________．

2答案

2

解析

f(x)＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，x>－1，

函数f(x)的零点个数即为函数y1＝sin 2x(x>－1)与y2＝|ln(x＋1)|(x>－1)的图象的交点个数．

分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点．

思维升华

函数零点个数的判断方法：

(1)直接求零点；

(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数；

(3)利用函数图象的交点个数判断．

2x＋2x，x≤0，跟踪训练

(1)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为(

) |lg x|，x>0，

A．1

C．3

答案

C 解析

g(x)＝f(1－x)－1 B．2 D．4 21－x＋21－x－1，1－x≤0，＝

|lg1－x|－1，1－x>02x－4x＋2，x≥1，＝

|lg1－x|－1，x<1，

易知当x≥1时，函数g(x)有1个零点；当x<1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个，故选C. (2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为________．

答案

2 1x解析

由f(x)＝0，得|log0.5x|＝2，

1x作出函数y1＝|log0.5x|和y2＝2的图象，

由上图知两函数图象有2个交点，

故函数f(x)有2个零点．

题型三

函数零点的应用

命题点1

根据函数零点个数求参数

典例

已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________________．

答案

(0,1)∪(9，＋∞) 解析

设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，

在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示．

由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，

2y＝－x－3x，所以有两组不同解，

y＝a1－x

消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，

所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，

解得a<1或a>9. 又由图象得a>0，∴09. 引申探究

本例中，若f(x)＝a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是________________．

90，

答案

4解析

作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的图象如图所示．

39当x＝－时，y1＝；当x＝0或x＝－3时，y1＝0，

249由图象易知，当y1＝|x2＋3x|和y2＝a的图象有四个交点时，0

命题点2

根据函数有无零点求参数

1典例

(1)(2018·安庆模拟)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间2，3上有零点，则实数a的取值范围是(

) A．(2，＋∞)

52，

C.2答案

D 1111，3上有解，即a＝x＋在，3上有解，设t＝x＋，解析

由题意知方程ax＝x2＋1在2x2x11010，3，则t的取值范围是2，.∴实数a的取值范围是2，. x∈3320，x≤0，(2)已知函数f(x)＝x则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是

e，x>0，B．[2，＋∞) 102，

D.3

(

) A．[0,1)

C．(－∞，1]∪(2，＋∞)

答案

D 解析

函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)＋x＝x，x≤0，x的大致图象(图略)．

e＋x，x>0B．(－∞，1) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)

观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．

命题点3

根据零点的范围求参数

典例

若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是__________．

11答案

4，2

m≠2，f0<0，解析

依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足f－1·f2<0，f1·m≠2，即[m－2－m＋2m＋1]2m＋1<0，

[m－2＋m＋2m＋1][4m－2＋2m＋2m＋1]<0，11解得

思维升华

根据函数零点的情况求参数有三种常用方法．

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．

跟踪训练

(1)方程log1(a2x)＝2＋x有解，则a的最小值为________．

2答案

1 12＋x11xx1x解析

若方程log1(a2x)＝2＋x有解，则＝a－2有解，即＋2＝a有解，因为242421x＋2x≥1，故a的最小值为1. 22x－1，x>0，(2)(2017·福建漳州八校联考)已知函数f(x)＝2若函数g(x)＝f(x)－m有三个零x＋x，x≤0，

点，则实数m的取值范围是________．

1－，0

答案

4解析

作出函数f(x)的图象如图所示．

111x＋2－≥－，若函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝24411－，0. 则－

利用转化思想求解函数零点问题

x－1，x<1，典例

(1)已知函数f(x)＝logx，x≥1，若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实12数k的取值范围是__________．

(2)若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为________．

思想方法指导

(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围．

(2)“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域解决．

2

解析

(1)关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数y1＝f(x)与函数y2＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．

22x＋1(2)由方程，解得a＝－x，设t＝2x(t>0)，

2＋12t2＋1则a＝－＝－t＋t＋1－1

t＋12＝2－t＋1＋t＋1，其中t＋1>1，

2由基本不等式，得(t＋1)＋≥22，

t＋1当且仅当t＝2－1时取等号，故a≤2－22. 答案

(1)(－1,0)

(2)(－∞，2－22]

61．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(

) xA．(0,1)

C．(2,4)

答案

C 31解析

因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)22的零点所在区间为(2,4)．

2．已知a是函数f(x)＝2x－log1x的零点，若0

) 2B．(1,2) D．(4，＋∞) A．f(x0)＝0

C．f(x0)<0

答案

C B．f(x0)>0 D．f(x0)的符号不确定

解析

f(x)在(0，＋∞)上是增函数，若0

则f(x0)

) x

A．(1,3)

C．(0,3)

答案

C B．(1,2) D．(0,2) 解析

因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)<0，解得0

) x，x>0，A．(1,2)

B．(－∞，－2] C．(－∞，1)∪(2，＋∞)

D．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案

D 1解析

当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝xm，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D. 5．(2017·山东)已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝x＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(

) A．(0,1]∪[23，＋∞)

C．(0，2]∪[23，＋∞)

答案

B 1x－2与g(x)＝x＋m的大解析

在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m2m致图象．

分两种情形：

1(1)当0＜m≤1时，≥1，如图①，当x∈[0,1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意．

mB．(0,1]∪[3，＋∞) D．(0，2]∪[3，＋∞)

1(2)当m＞1时，0＜＜1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需mg(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．

综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．

故选B. x＋3，x≤1，6．已知f(x)＝2则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为________．

－x＋2x＋3，x>1，

答案

2 解析

函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点．

7．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是______________．

3

－

x2

解析

∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，

－2＋3＝－a，由根与系数的关系知

－2×3＝b.a＝－1，∴

b＝－6，

∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)>0，

即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，

3－a.

值范围是________．

答案

(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析

令φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x>a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象(图略)可得a<0或φ(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．

9．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 015x＋log2 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．

答案

3 解析

因为函数f(x)为R上的奇函数，

10，所以f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 015x＋log2 015x在区间2 015内存在一个零点，又f(x)为增函数，

因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．

根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点，

从而函数f(x)在R上的零点个数为3. 10．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．

1答案

－

2解析

函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有1一个交点，故2a＝－1，解得a＝－. 2

11－(x>0)．

11．设函数f(x)＝x(1)作出函数f(x)的图象；

11(2)当0

ab(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．

解

(1)如图所示．

－1，x∈0，1]，x1(2)∵f(x)＝1－x＝11－x，x∈1，＋∞，1

故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．

1111由0

12．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．

解

显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，

10

x1又∵y＝x＋在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，

x1∴y＝x＋在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)，

x∴1－m≥2，∴m≤－1，

故m的取值范围是(－∞，－1]．

13．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点有(

) A．多于4个

C．3个

答案

B 解析

因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．

B．4个

D．2个

显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选B. 14．已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(

) 1A.

47C．－

8答案

C 解析

依题意，方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1个解，故f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)有1个解，

7∴2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0有唯一解，故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.故选C. 81B.

83D．－

8

15．(2018·郑州模拟)若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的11零点为n，则＋的最小值为________．

mn答案

1 解析

设F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，

则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m>0，n>0)．

因为F(x)与G(x)关于直线y＝x对称，

所以A，B两点关于直线y＝x对称．

又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2，所以m＋n＝4. 又m>0，n>0，

11m＋n11＋·所以＋＝

mnmn4nm112＋＋≥2＋2 ＝mn44nm×＝1. mnnm当且仅当＝，即m＝n＝2时等号成立．

mn11所以＋的最小值为1. mn1x＋，x>0，16．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝4x

x＋1，x≤0.(1)求g(f(1))的值；

(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．

解

(1)利用解析式直接求解得

g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)5的图象如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所451，. 求a的取值范围是4