对顶角、余角和补角公开课参赛课教案

2．1

两条直线的位置关系

第1课时

对顶角、补角和余角

教学目标：

1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。

2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。

3、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。

4、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。

【教学重点、难点及解决办法】

教学重点：对顶角的概念及其性质

教学难点：利用对顶角相等解决一些简单的问题

解决办法：强调图形的基本特征，逐步培养学生的审题、识图和推理能力。

【学情分析】

学生已经初步认识了两条直线相交的情况，能够找出其中的邻补角，知道一对邻补角的位置特征和数量关系，并能解决一些简单的几何问题。在学习方法和能力上，学生已经具备了初步的自学、讨论、观察、操作、说理等方法和能力，这都为本节课教学活动的开展提供了有力的知识和能力背景。

【教学准备】

课件，直尺或三角尺

【教学过程】

一、情境导入

如图，若把剪刀看成是两条相交的直线构成的，那么形成的角中小于平角的角有几个，你能发现它们之间的联系吗？

二、合作探究

探究点一：对顶角及其性质

【类型一】

对顶角的概念

下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是(

)

解析：选项A中的两个角的顶点没有公共；选项B、D中的两个角的两边没有在互为反向延长线的两条直线上，只有选项C中的两个角符合对顶角的定义．故选C.

方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角．

【类型二】

直接运用对顶角的性质求角度

如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数．

解析：结合图形，由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数，根据“对顶角相等”可得∠2的度数．

解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°.因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)，所以∠2＝70°(等量代换)．

方法总结：两条相交直线构成对顶角，这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论．在图形中正确找到对顶角，利用角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系，然后结合已知条件进行转化．

探究点二、余角、补角的概念和性质：

学生活动：（教师演示ppt）

计算：

（1）44°+ 46°= ； （2）30°20′34″+ 59°39′26″= ；

（3）10°+ 25°+ 55°= ； （4）96°+ 84°= ；

（5）58°45′+ 121°15′= ；

（6）50°+ 75°+ 55°= 。

答案：都填90°。

学生计算并回答,总结它们的特点.教师判断对错. 教师应关注：

（1）计算的准确性

（2）学生是否认真观察并思考

【设计意图：通过计算复习上节课的知识，设置悬念，调动学生的积极性，更进

一步促使渴望尽快的寻求到答案，同时也为判断余角和补角做铺垫。】

师生活动：

A:出示一组互余角 B:出示一组互补角

教师演示ppt互为余角. 学生通过观察，回答教师提出的问题.师生总结互为余角的概念.然后，类比互为余角学习互为补角的概念. 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。

如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。

教师应关注：

（1）学生的语言表达. （2）学生是否能独立思考并积极参与到数学的问题中. （3）学生是否真正理解了这两个概念. 【设计意图：教师演示，让学生通过观察，从直观的角度去感受互为余角、补角的概念.并用语言去表达这两个概念，培养口语表达能力. 】

牛刀小试：

判断。

（1）一个角有余角也一定有补角.（ ）（2）一个角有补角也一定有余角. ( ) （3)一个角的补角一定大于这个角.（ ）

答案：（1）√；（2）×；（3）×。

学生计算并回答，对照答案，教师根据回答给以评价. 教师应关注：

（1）计算的准确性. （2）是否会用含有未知数的式子表示余角和补角，是否准确理解概念. 【设计意图：通过利用余角和补角的概念来进行计算，一方面检查是否理解概念；另一方面培养计算能力.】

学生活动：

1、如图3，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？你能用一句话概括这一规律吗？

图3

2、如图4，如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，∠1＝∠3，那么∠2与∠4有什么关系？为什么？

学生分组进行讨论，交流并让代表发言. 图4 教师让学生猜想、简单说理、得出结论.根据回答进行引导，并给以积极的评价.并让学生反思这个过程. 教师提出问题，学生类比余角的性质独立解决该问题. 教师应关注：

（1）学生语言是否准确、规范. （2）几何语言的表达是否准确、规范. （3）思维是否清晰.

同角或等角的余角相等。

同角或等角的补角相等。

【设计意图：学生有了探究余角的经验，会主动迁移到补角上来，类比余角的性质进行自主探究，从而达到“由扶到放”的目的.从而培养学生独立思考的习惯，以及迁移知识的能力.】

例1、已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数. 分析：可以利用方程思想解决这道题。

解：设这个角为x°，则180 – x = 4（90 - x），

∴x = 60. 答：这个角是60°。

【设计意图：本例题不但考查学生对概念的理解，同时也渗透方程的思想.学生感觉到几何问题用方程解决更简单.】

牛刀小试：

如图5，E、F是直线DG上两点，∠1 = ∠2,∠3 = ∠4 = 90 °，找出图中相等的角并说明理由. 答案：∠5 = ∠6,理由是：等角的余角相等。

本题相对复杂，为了更好让学生得到发展，先让学生独立思考，然后在进行交流.教师给以评价. 【设计意图：本题是利用余角的性质解决，学生经历“独立思考——交流——结论”这样一个过程，既培养独立的意识，又有合作.既充分发表个人的见解，让他们体验成功，又锻炼了口语表达.】

图5 教师应关注：

（1）学生对余角和补角概念的理解，是否会用含有未知数的代数式表示一个角的余角和补角. （2）学生是否真正理解余角的性质，并能在具体的问题中进行应用.学生的几何语言是否规范、标准. 【设计意图：本题是利用余角和补角的性质、角的平分线和直角定义来解决，学生充分运用所学知识来尝试解决，先独立思考，然后一起讨论，培养学生独立思考的习惯、合作交流的意识，又从多个角度了解、认识这个问题，从而真正做到理解.】

三、板书设计

1．对顶角相等；

2．同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等

【教学反思】

本节课主要采用“教师创设问题情境──学生自主探索与小组合作交流──师生共同概括明晰”的教学思路，把探索知识的主动权交给学生，让学生真正成为学习的主人。通过问题情境的设置，从中抽象出数学模型，观察、猜想、说理，从而认识了对顶角，发现了“对顶角相等”这一性质，达到了培养学生分析问题、解决问题的能力的目的。

在教学中，给学生提供探索、思考、交流的空间，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，使学生在对数学问题理解的同时，在思维能力、情感态度、价值观念等方面得到进一步发展，逐步学会知识、学会学习、学会思考。