回顾与思考教学设计

【整式的乘除复习】教学设计

榆次五中

刘强

教学目标：

1．知识与技能：梳理全章内容，建立知识体系；熟练运用幂的运算法则、整式乘除法进行运算. 灵活运用整式乘法公式进行运算，综合运用整式运算的知识解决问题. 2．过程与方法：让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，发展学生的符号感和应用意识，提高应用代数意识及方法解决问题的能力，

进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。

3．情感与态度：在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，了解数学的价值，发展“用数学”的信心。

【学习重点】对相关的法则及公式进行复习. 【学习难点】熟练应用整式乘除的法则及乘法公式进行计算. 教学过程设计

本节课设计了三个教学环节：系统归纳梳理、精例解析引导、巩固应用提升。

一、系统归纳梳理

知识结构框图：（思维导图）

知识梳理：

表一：幂的乘法运算法则

表二：同底数幂的乘法与除法比较.

表三：幂的乘方与积的乘方比较.

表四：整式的乘法

表五：乘法公式

表六：整式的除法

知识点回顾：

（1）、单项式乘以单项式：

法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

（2）、单项式乘以多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc。

法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

（3）、多项式乘以多项式：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

（4）、单项式除以单项式：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

（5）、多项式除以单项式：(abc)mambmcm.

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

整式乘法公式：

（1）、平方差公式： (ab)(ab)a2b2 平方差，平方差，两数和，乘，两数差。

公式特点：（有一项完全相同，另一项只有符号不同，结果=2(相同）（不同)2

（2）、完全平方公式：

(ab)2a22abb2 首平方，尾平方，2倍首尾放中央。

(ab)2a22abb2

逆用：a22abb2(ab)2,a22abb2(ab)2.

完全平方公式变形（知二求一）：

22[(ab)(ab)]a2b2(ab)22aba2b2(ab)22ab

a2b21222a2b2(ab)22ab(ab)22ab1[(ab)(ab)]222(ab)2(ab)24ab ab1[(ab)(ab)]

42n2n2n12n+14.常用变形：(xy）=(y-x), (xy）=-(y-x)

二、精例解析引导

类型一 幂的乘法运算

例1

下列运算中，计算结果正确的是(

) A．a4·a3＝a12 B．a6÷a3＝a2

C．(a3)2＝a5 D．(－ab)2＝a2b2

例2、－a·a5－(a2)3－(－2a3)2 解：原式＝－a6－a6－4a6＝－6a6. 例3、若3×9m×27m＝316，则m=3 例4、(－8)2017 ×(0.125)2016

1－2例5、－1＋(π－3.14)－(－)＋(－2)3；

320例6、比较大小：2444，3333和4222 方法总结：幂的乘法运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方.这三种运算性质贯穿全章，是整式乘法的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正. 针对训练：

1 下列运算正确的是( c ) A．4a2－(2a)2＝2a2 B．(－a2)·a3＝a6

C．(－2x2)3＝－8x6 D．(－x)2÷x＝－x 2、(2a)3(b3)2 ·4a3b4；

3、(－3a3)2·a3＋(－4a2)·a7－(5a3)3. 解：原式＝9a6·a3－4a9－125a9＝－120a9. 4、若3m＋2n＝4，则8m·4n＝

5、已知5x＝3，5y＝2，则52x－3y＝

6、(x－y)3·(y－x)6·(y－x) 解：原式＝－(x－y)3·(x－y)6·(x－y) ＝－(x－y)10. 7、计算：0.252017

×（－4）2017－8100

×0.5301 科学记数法

已知某新型感冒病毒的直径约为0.000 000 823米，将0.000 000 823用科学记数法表示为( ) A．8.23×10－6 B．8.23×10－7 C．8.23×106 D．8.23×107

把数6.12×10－3用小数表示为(C) A．0.061 2 B．6 120 C．0.006 12 D．612 000 类型二 整式的乘除法

例1

下列计算中，正确的是(

) A．3a3·2a2＝6a6

B．2x2·3x2＝6x4

C．3x2·4x2＝12x2

D．5a3·3a5＝15 例2、

(－2a2)·(－ab2)3·2a2b3

32例3、(－abc＋2ab－ac)·(－ac)2. 5322例4、 计算：2x(3－2x)－(2x＋3)(3x－4)．

方法总结：整式的乘法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式及多项式乘以多项式，其中单项式乘以单项式是整式乘法的基础，

单项式除以单项式、单项式除以多项式。必须熟练掌握它们的运算法则. 针对训练：

1 计算：[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]×3x2y,其中

x=1,y=3. 2、

(－4xy3)·(－xy)＋(－3xy2)2；

3、6xy2·(－2x2y)÷(－3y3) 解：原式＝－12x3y3÷(－3y3) ＝4x3. 4、(2x3y)2·(－2xy)－(－2x3y)3÷2x2. 解：原式＝4x6y2·(－2xy)＋8x9y3÷2x2

＝－8x7y3＋4x7y3

＝－4x7y3. 5、

(x－1)(x2＋x＋1)

解：原式＝x3＋x2＋x－x2－x－1 ＝x3－1. 116、(3xy－xy＋xy)÷(－xy)；

2222解：原式＝－6x＋2y－1. 127、[x(x－2x＋3)－3x]÷x. 221解：原式＝(x3－2x2＋3x－3x)÷x2

2

1＝(x3－2x2)÷x2

2＝2x－4. 8、已知(2x－5)(x＋m)＝2x2－3x＋n，

9、若(x－2)(x2＋ax＋b)的积中不含x的二次项和一次项，则a，b的值分别是多少？

类型三

整式的乘法公式的运用

例1、 (3m－n)(－3m－n)；

例2、 (x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)；

例3、(3x－2y)2(3x＋2y)2. 例4、x2－Mxy＋49y2是一个完全平方式,那么M的值为

例5、 已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2＋ab的值为(

) A．5

B．7

C．9

D．13 例6、(－2 018)2＋2 017×(－2 019)．

例7、2 0182－2 018×4 038＋2 0192．

方法总结：整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度. 针对训练：

1、(y＋x＋6)(y－x＋6)．

解：原式＝[(y＋6)＋x][(y＋6)－x] ＝(y＋6)2－x2

＝y2＋12y＋36－x2. 2、2012－401；

解：原式＝(200＋1)2－401 ＝2002＋2×200×1＋12－401 ＝40 000. 3、(2＋1)(22＋1)(24＋1)＋1. 解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＋1 ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)＋1 ＝(24－1)(24＋1)＋1 ＝28－1＋1 ＝256. 4、

已知(x－y)2＝49，xy＝2，则x2＋y2的值

5、先化简,再求值：[(x－y)2+(x+y)(x－y)]÷2x2,

其中x=3,y=1.5. 类型四

本章数学思想和解题方法

(2)

转化思想：将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题，这是初中数学中常用的思想方法.如本章中，多项式×多项式转化为单项式×多项式转化为单项式×单项式

转化为有理数的乘法和同底数幂的乘法

12例1、[x(x－2x＋3)－3x]÷x. 2212解：原式＝(x－2x＋3x－3x)÷x

232

1＝(x3－2x2)÷x2

2＝2x－4. 例2、(a＋b＋c)(a－b＋c)．

解：原式＝[(a＋c)＋b][(a＋c)－b] ＝(a＋c)2－b2

＝a2＋2ac＋c2－b2. 针对训练：1.计算：（4a－b）（－2b）2．

•2bc;232、计算：(1)－2a·3ab· 5 (2)（－2x+5+x2）·（－6x3）. 2、整体思想：在本章中应用幂的运算法则、乘法公式时，可以将一个代数式看做一个字母，这就是整体思想，应用这种思想方法解题，可以简化计算过程，且不易出错。

例1.若xn=5，则(x3n)2－5(x2)2n= 例2

若2a+5b－3=0，则4a·32b=

. 例3、若x2＋4x－4＝0，求3(x－2)2－6(x＋1)(x－1)的值．

针对训练：

1.若121xxyy22 =

x+y=2，则 22、已知x2＋x＝2，求(x＋2)2－x(x＋3)＋(x＋1)(x－1)的值．

3、已知x2－3x－4＝0，求代数式(x＋1)(x－1)－(x＋3)2＋2x2的值．

解：原式＝3x2－12x＋12－6x2＋6

＝－3x2－12x＋18 ＝－3(x2＋4x)＋18. 因为x2＋4x－4＝0，所以x2＋4x＝4. 所以原式＝－3×4＋18＝6. 3、数形结合思想：本章中数形结合思想主要体现在根据给定的图形写出一个代数恒等式或根据代数式画出几何图形. 由几何图形得到代数恒等式时，需要用不同的方法表示几何图形的面积，然后得出代数恒等式；由代数恒等式画图时，关键在于合理拼接，往往是相等的边拼到一起．

例1、如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为_____. 例2、我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：2abab2a23abb2 就可以用图1或图2等图形的面积表示. 





图1 图2 图3 ；

（1）请写出图3中所表示的代数恒等式____________（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：

2aba3b2a27ab3b2

（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形.

针对训练：

1 如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是 .

a

2、乘法公式的探究及应用．

(1)将图1阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形(图2)，那么这个长方形的宽是 ，长是 ，面积是 ；

(2)比较图1、图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ；(用式子表达)

(3)

运用你所得到的公式计算：(2m＋n－p)(2m－n＋p)．

解：(2m＋n－p)(2m－n＋p) ＝[2m＋(n－p)][2m－(n－p)] ＝(2m)2－(n－p)2

＝4m2－n2＋2pn－p2. 【核心素养专练】

1、我国南宋时期的数学家秦九韶在《数学九章》中给出一种求多项式值的简化算法，即使在现代，利用计算机解决多项式求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算：“当x＝8时，求多项式3x3－4x2－35x＋8的值”，按照该算法，将多项式3x3－4x2－35x＋8变形为3x3－4x2－35x＋8＝x(3x2－4x－35)＋8＝x[x(3x－4)－35]＋8，把x＝8代入后，由内向外逐层计算一次多项式的值可得原多项式的值为1 008.

(1)将多项式x3－25x2＋14x－10按此算法进行变形；

(2)当x＝26时，求多项式x3－25x2＋14x－10的值．

解：(1)x3－25x2＋14x－10＝x(x2－25x＋14)－10＝x[x(x－25)＋14]－10. (2)当x＝26时，原式＝26×(26＋14)－10＝26×40－10＝1 030. 针对训练：

1、给出下列算式: 3－1=8 =8×1；

5－3=16=8×2；

72－52=24=8×3；

92－72=32=8×4. 2222

（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？

（2）用含n的式子表示出来（n为正整数）. （3）计算 20112－20092= ，此时n = . 2、观察下列等式：

（x－1）（x＋1）＝

x

2 －1, （x－1）（x

2 ＋x＋1）＝

x 3 －1, （x－1）（x

3＋x

2 ＋x＋1）＝_________,………

n

n－12 （1）猜想规律（x－1）（x

＋x

＋…+x

＋x＋1）＝_________, （2）有以上情形，你能求出下面式子的结果吗？

（x

20 －1）÷（x－1）＝_______ __, （3）已知x

3＋x

2 ＋x＋1=0，求x

2012的值. 3、观察下列等式：

12×231＝132×21，

13×341＝143×31，

23×352＝253×32，

34×473＝374×43，

62×286＝682×26，

…

以上每个等式中两边数字是分别对称的，且这个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．

(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：

①52×275＝572×25；

②63×396＝693×36；

(2)设这类等式左边两位数的十位数字是a，个位数字是b，且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a，b)，并用所学的数学知识说明你所写的式子的正确性．