3.4.1 函数与方程教学实录

《函数的零点》教学设计

一、

教学内容分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》（苏教版）第二章2.5.1函数的零点。本节课“函数的零点”分两部分，第一部分函数与方程的关系，引出函数的零点概念；第二部分对零点的存在性进行探究。

在函数与方程的关系这一部分，通过具体一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与x轴交点的横坐标之间的关系，由特殊到一般，推广到一般函数与对应方程之间的关系，从中抽象出零点的概念。这样的教材内容安排让学生以初中就接触过的二次函数、一元二次方程为跳板，逐级推进，顺畅自然的引出新课题，符合学生的认知规律，同时也是对已有知识的更深层次的理解。

第二部分零点的存在性探究，通过对零点的存在性的探究可以将零点的概念的普遍性更加具体化，同时为后续的二分法求方程近似解等问题做好了知识上的储备，

因此这一部分起到了一个承上启下的作用，为二分法的引入做好了铺垫。

纵观本节内容，它从学生已有的基础（初中学过的一元二次方程和二次函数）出发一步步引领学生，自我探究得到新知，其中融汇了很多重要的数学思想，也让学生体会到了知识间的关联性。同时本节也为接下来的二分法，甚至高等数学中的相关概念的学习架好了桥梁。

二、教学目标

新教材之所以要引进“函数的零点”，根本愿意要用函数的观点统帅中学代数，把所有中学代数问题纳入函数的思想下。这样解方程实际上市求函数的零点问题，于是方程就纳入到函数中来，这样一来初中学了的方程原来到了函数里只不过是函数的零点问题。

结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，形成用函数的观点处理问题的能力；学会函数零点的判定方法，为二分法的学习打好基础，培养学生的探究能力，数形结合等数学思维方法，体会知识间的贯穿性，用已有知识解决问题，让学生在学习过程中体验成功的喜悦。

三、教学重点、难点

重点：函数的零点与方程的根的联系；

难点：连续函数在某区间上零点的存在性定理

四、学情分析

本节的引入是在学生初中已有的一元二次方程和二次函数的基础上进行的，符合学生的“最近发展区”规律，因此较容易接受，但是真正理解函数的零点这一概念学生还是会有一些误区，例如：零点就是点等，以及如何真正建立起函数的零点和方程的根以及函数的图像与x轴交点的横坐标三者之间的等价关系；在零点存在性的探究中，也要注重师生互动，引导学生从具体图像自我探究，发现总结出应结论，在教师的激发下消除对零点的存在性的判定中的一些错误认识。

五、设计思想

在本节课的教学过程中，通过具体一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与x轴交点的横坐标之间的关系的探索，引出函数零点的概念。通过连续函数在区间上的图像，让学生很难过探究总结，经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过对定理的剖析，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力。

六、教学过程设计

（一）启发探究，形成零点概念

1．方程的根与相应函数图象的关系

师：请同学回答画函数yx22x3的图像的基本步骤，教师按照学生回答板书出图像

问题1：画图时怎样求图像与x轴的交点

生：令函数yx22x3的函数值等于0，解方程x22x30，该方程的根也就是函数yx22x3图像与x交点的横坐标

师：将学生的答案书写在黑板上，引领大家发现总结：

1）令函数yx22x3的函数值为0，形式上就变成了方程x22x30

2）方程x22x30的根就是相应函数yx22x3图像与x交点的横坐标

（设计意图：从如何画二次函数图像这个简单的问题入手，追问里面更为基本的一个问题，如何求图像与x轴的交点，以此引领学生发现函数与方程形式上的关联，以及函数图像与方程根之间的具体联系，为函数零点概念的引出做好铺垫）

师：用画图工具展示下列函数的图象：

y3x6；yx32x25x6；y3x27；ylog3x3

问题2：上述函数的图像与对应的方程的根之间是否也存在类似的联系？

分组探究：学生分四组求解四个函数对应的方程，观察方程的根与函数图像与x轴交点之间的关系

（设计意图：用上述函数举例将结论从二次函数推广到一般函数，而且所举例中包括了一次函数，多次函数，指数函数，对数函数，这些学生接触过的函数更能激发起学生学习兴趣，让学生体会到知识之间的内在联系，符合学生的“最近发展区”）

2、引出零点概念

对于函数yfx，把使fx0的实数x叫做函数yfx的零点．

问题3：根据定义零点的本质是什么？是一个点吗？

生：函数yfx的零点就是相应方程fx0实数根，本质上是一个实数

（设计意图：零点的概念学生在刚接触时很容易凭直观印象认为零点就是“点”，所以在给出概念的同时就是纠正学生的这一错误印象，并巩固零点的概念）

问题4：函数的零点和相应的方程、函数的图像有什么具体联系？

生：函数yfx的零点就是方程fx0的实数根，同时也是它的图像与x轴交点的横坐标

（设计意图：这三者之间的关系是这一部分的重点，即时总结，板书出三者的等价关系十分重要）

问题5：怎样求函数yfx的零点？

师：从问题4中三者之间的联系启发学生总结：

1）（代数法）求方程f(x)=0的实数根；

2）（几何法）利用函数yfx的图象找出零点．

（设计意图：思考如何求函数的零点既是对函数零点与函数图像和方程根三者的对应关系的再次巩固，同时让学生理清思路，对这一类问题如何求解有具体的、可操作的方法.）

3、讨论二次函数yax2bxca0的零点的情况

学生探究发现求二次函数yax2bxca0的零点需要讨论分组探究：对分类讨论，每组找学生代表总结该小组的讨论结果，教师总结板书如下：

一元二次方程ax2bxc0根的个

数

函数

yax2bxca0的图像

图象与轴交点个数

二次函数

yax2bxca0的零点的个数

（设计意图：零点概念从二次函数引出，最后再由二次函数巩固，使知识的系统性更强，让学生对零点概念有更加具象的理解）

4、巩固练习

（1）若一次函数fxaxb有一个零点2，那么函数gxbx2ax的零点是_________ （2）如果函数yx2mx(m3)有两个不同的零点，则实数m的取值范围是_______ xx4,x0（3）已知函数则函数fx

则函数f(x)零点个数为_______ xx4,x0（设计意图：通过三种不同类型的函数求零点的问题，让学生动手解决，更加深对零点概念的理解）

（二）探究函数零点的存在性

1、观察下面函数y=f(x)的图象

完成下列填空：

（1）

在区间a,b上______(有/无)零点；fafb________0（<或>）

（2）

在区间b,c上______(有/无)零点；fbfc________0（<或>）

（3）

在区间c,d上______(有/无)零点；fcfd________0（<或>）

师：引导学生总结函数在特定区间内零点是否存在，与函数在区间端点上的函数值符号之间关系。

合作探究：给学生一定时间讨论，概括，教师予以协助、完善，最终汇总形成结论。

函数零点的存在性定理：

一般地，若函数yfx在区间a,b上的图像是一条不间断的曲线，且fafb<0，则函数yfx在区间a,b上有零点。

（设计意图：通过具体函数的图像抽离出零点的存在性定理，使得这个抽象的定理更加直观化，便于学生理解，学生合作讨论，自己总结出结论，培养了学生的归纳总结能力）

2、剖析定理

问题6：判断下列命题的真假性，如果认为其为假命题请举反例说明

（1）如果函数yfx在区间a,b上的图像不连续，且fafb<0，则函数yfx在区间a,b上有零点。

（2）如果函数yfx在区间a,b上的图像是一条不间断的曲线，且fafb<0，则函数yfx在区间a,b上只有一个零点。

（3）如果函数yfx在区间a,b上连续且存在零点，则一定满足fafb<0 分组探究：给充足时间，学生分组，针对三个问题讨论，画出反例图像

（1）（2）

（3）

师：通过与学生共同探究上述三个问题，启发大家思考该定理中需要注意的细节，以及关键词，师生合作，共同总结：

关键词1：连续不断；

关键词2：fafb<0

注意1：定理只能判定零点的存在性，不能判断零点个数

注意2：定理反之不成立

（设计意图：通过三个命题判断对错，激发学生思考，举出反例，通过反例剖析定理的深层次含义，使学生更加透彻的理解定理）

3、巩固练习

11（1）设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－)·f( )<0，则方程22f(x)＝0在[－1,1]内有__________个实数根

（2）证明：函数fxx33x1在区间0,1上有零点

（3）已知fx2x,gx3x2，则函数yfxgx的零点个数是_________个

（学情预设：练习前两题学生较容易解答，其中（1）小题利用函数的单调性辅助理解解决零点个数问题是一个很重要的方法，（3）小题转换成超越方程，再转换成图像的交点的个数问题，该题型学生不会一下想到，根据课堂时间考虑是否要深入讲解下去）

4、课堂小结：

本节课讲解了零点的概念，二次函数的零点问题，零点的存在性定理及其剖析

5、作业

教材P76练习1、2 七、教学反思

本节由初中所学二次函数的图像入手，学生十分熟悉，很容易激发学生的学习兴趣，在零点概念的探究过程中，学生分组讨论，发挥其主观能动性，自己总结概念，零点的存在性定理通过图像这样直观的方式让学生观察、讨论、总结，培养了学生的归纳总结能力，对于定理的详细剖析使得定理需要注意的关键点更加清晰、透彻。

同时本节不仅仅揭示了函数与方程这两个重要部分之间的内在联系，拓展了这两类问题的解决思路，更重要的是提供给学生一种解决问题的方法，培养了学生的数学思维能力。