3.2.2 对数函数优秀教学设计内容

第7课

函数的性质（1）

一、教学目标

1．理解函数的单调性、最大（小）值的概念及其几何特征，；2．会运用定义判断或证明一些简单函数在给定区间上的单调性

3．掌握判断一些简单函数的单调性的常用方法

二、基础知识回顾与梳理

1、对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确？

①若f(2)f(1)，则f(x)在R上是增函数；

②若f(2)f(1)，则f(x)在R上一定不是减函数；

③若f(x)在区间(,0]上是增函数，在[0,)上也是增函数，则f(x)在R上是增函数；

④若f(x)在区间(,0]上是减函数，在(0,)上也是减函数，则f(x)在R上是减函数．

【教学建议】本题选自课本习题，主要是复习函数单调性的概念。通过这一组判断题，可以帮助学生理解单调性定义中的关键条件。教学时可结合图象（定义）说明上述命题的真假，在判断辨析中加深对概念的理解。要注意③与④的区别，④是不连续函数，如函数x1x0，这样的函数可举出很多．

f(x)x1x02、判断下列命题的真假，并说明理由？

①若函数f(x)在R上是增函数，则函数f(x)在R上是减函数；

②若函数f(x)、g(x)均是区间I上的减函数，则F(x)f(x)g(x)也是区间I上的减函数；

③若函数f(x)、g(x)均是区间I上的奇函数，则F(x)f(x)g(x)也是区间I上的奇函数；

④若函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是R上的奇函数；

⑤若定义在R上的偶函数f(x)在区间(,0]上是增函数，则函数f(x)在[0,)上也是增函数；

【教学建议】本题改编自课本习题。教学时，可要求学生运用单调性或奇偶性的定义进行说理，但不一定要给出严格的证明。教师可选取其中之一二，将运用定义说理的过程写给学生看，加深理解。通过辨析和说理，可复习有关概念，帮助学生理解一些常见的结论。

3、函数f(x)x22x在[0,10]上的最大值是___________, 最小值是___________. 【教学建议】本题选自课本第44页习题。目的是复习函数在某一区间上的“最值”这一概念．可提问：

]是否总有f(x)f(1)？对任意x[1,10，]是否总有（1）

对任意x[0,1，f(x)f(1)？

（2）

从导数来理解，x1是函数f(x)的极大值点还是极小值点？

4、函数f(x)1的单调增区间为

. x【教学建议】本题选自课本习题。目的是考察学生对单调性的理解，以及单调区间的求解方法（单调性的定义或导数）和书写,特别是书写单调区间时应注意：若函数f(x)在定义域内的两个单调区间A、B都是增（或减）函数，一般不能简单的认为f(x)在AB上是增（或减）函数。例如本题增区间就不能写成(,0)(0,)，而应用和或则逗号连接．

三、诊断练习

1、教学处理：学生自主完成5道小题，鼓励学生相互讨论，搞清楚这几个问题课堂上进行提问，以便了解学生的思路及主要错误，对学生的思路进行点评时要简洁，点击要害．

2、诊断练习点评

x的单调减区间是

。

x1答案

(,1),(1,)

题1：函数y【分析与点评】这是对知识回顾4的进一步复习，除了要让学生明确单调区间不能随意的并以外，还要让学生掌握分式常用的变形技巧——裂项。

2题2．已知函数yf(x)在R上是增函数，且fmfm，则实数m的取值范围为

2答案

(,1)(0,)

【分析与点评】解抽象函数的不等式一个最基本的方法就是利用单调性“脱去”f,然后转化成一个我们熟悉的不等式问题，如本题即可变形为mm，解出m的范围

题3．函数y=12x㏑x的单调递减区间为____________________；

2答案

0,1

【分析与点评】对于基本初等函数，定义法、图像法、复合函数法都是常用的求单调区间的方法。当以上方法都不方便求解时，不要忘记解决单调性问题一个强有力的方法——导数法。利用y0(0)可求出函数的单调增（减）区间。同时可请一个因忽视定义域而犯错的通项上黑板板演，暴露错误进一步加深学生的印象，养成“定义域先行”的好习惯。本题中/y/x1，由y/0，解得1x1,又x0,0x1

x题4．若函数f(x)x22(a1)x2在区间(,4]上是减函数，那么实数a的取值范围是

．

【分析与点评】（1）要求学生画出二次函数f(x)的图象（图象的四个要素：开口、对称轴、与y轴的交点、△）平时画图要养成对这四个要素关注的习惯。本题中开口、对称轴是要点；

（2）引导学生结合图形，思考给定区间(,4]与轴的位置关系,列式得到答案a3；

2【变式】：若函数f(x)x的单调减区间是(,4]，则实数a的值2(a1)x2是 . 【分析与点评】本题的说法和上题有异，把“在区间上”改为“单调区间是”，其实发生了质的变化，“在区间上”的所指区间其实是函数单调减区间的子集。

ax (x0)题5．已知函数f(x)，满足对任意x1x2，都有(a3)x4a (x0)f(x1)f(x2)0成立，则a的取值范围是

．

x1x2f(x1)f(x2)0怎样转化？说明函数f(x)具有怎样的性质？

【分析与点评】（1）条件x1x2（2）函数f(x)在R上是单调减函数，是否等价于各段上均为单调递减函数？

这里，可结合前面的“基础知识梳理”第2题④，辅以图象进行分析。答案是0a1

43、要点归纳

（1）强化函数定义域优先的意识。单调区间要在定义域之下讨论；函数解析式的化简，也

必须在定义域的“监督”下才能确保前后等价．

（2）从定义中，理解判断函数单调性的一般步骤方法。

（3）要重视图象在解题中的作用，辅助分析，帮助理解．

四、范例导析

例1、例1改为：求下列函数的单调区间：

（1）y2x24x3

（2）ylog1(x24x3)

（3）y212xx2lnx

2

【教学处理】可让学生板演，教师点评并纠正学生的书写过程

【引导分析与精讲建议】

1、对于（1）（2）两小题首先提问学生属于哪种函数类型？是由哪两种函数复合而成?定义域分别是什么？单调性如何？教学中应反复强调先求定义域再求单调区间的解题原则。

2、第（3）小题与（1）（2）相比区别在于（3）中所给的函数不是复合函数，也不好画出它的图像，则可以在定义域的基础上，利用导数求出单调区间，

3.本题的易错点就在于忽视函数的定义域

例2：求证：函数f(x)xa(a0)在区间(a,)是增函数。

x【教学处理】要求学生自行分析，并证明，将学生的作业实物投影出来．

【引导分析与精讲建议】

提问：证明函数单调性有哪些方法？

交流：思路1：定义方法：取值→作差→变形→判断符号→下结论．

思路2：导数方法：求导→判断导数符号（证明单调增函数时，说明导数大于零：证明单调减函数时，说明导数小于零：）

【变式】：函数f(x)xa(a0)在整个定义域内的单调性如何？

x【点评】：这里变式题中给出的函数是不连续的，可结合对勾函数图象指出函数的单调区间，引导学生用定义法或导数法证明其单调性．还可以进一步引导学生思考，如果去掉“a0”这个条件，f(x)的单调性应如何讨论？

例3 若函数ylog2(x2ax3a)在[2,)是增函数，求实数a的取值范围

【教学处理】指导学生将问题进行转化，指名回答，教师点评并板书解题过程．

【引导分析与精讲建议】

可提出以下问题与学生交流：

问题1：原函数在2,上增，意味着对真数这个二次函数有着什么样的要求?

问题2：根据复合函数的单调性，xax3a

在[2,)上应具备怎样的单调性？除此以外，还要具备什么条件？

问题3：所求参数a的等号是否可以取到？

解决含参数的函数单调性问题，利用单调性的定义和复合函数的单调性是常用的方法，同是还要注意对区间的开闭进行讨论。 五、解题反思

1、函数单调性是函数的重要性质，也是在高考中出现频率较高的问题。要强化在研究函数性质过程中的“定义域”优先的意识。如，例1的求单调区间；例3中列出的条件组中对真数2

的限制以及对字母的讨论

2、要注意奇偶性与单调性判断的等价形式．如：fxfx0或fxfx0；再如，函数单调递减f(x1)f(x2)0(x1x2)[f(x1)f(x2)]0等等．

x1x23、在证明和判断单调性时要注意根据实际情况灵活的选用多种判定方法，如定义法、导数法、复合函数单调性、图像法等。

4、奇偶性与单调性，定义域、值域等这些函数的性质，都可以在“数”和“形”两方面得到具体的反映。在解题过程中，要注意函数图象在研究问题中的辅助作用。体会数形结合的思想方法。可以说，只要能画图的，一定要画出个图来，益处良多．