2.1.2 函数的表示方法教学创新设计

函数——函数解析式

一．教学目的：1.掌握求函数表达式的几种常见方法，如待定系数法、换元法、配凑法等。

二．教学重点：函数表达式的常用求法

三．教学过程：

复习回顾：

1．函数的表示法

（1）解析法：用一个等式来表示两个变量之间的函数关系，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。例如：y4.9x2，Ar，yax2bxc(a0)．

说明：①解析式法的优点是：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质；

②中学里研究的主要是用解析式表示的函数。

（2）列表法：用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法。例如：只要知道了表2-1-1中的某个年份,就能从此表中查得相应的人口数. 说明：列表法的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。

（3）图象法：用函数图象表示两个变量之间的关系。例如：气象台应用自动记录器，描绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。

说明：图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况。

新课教授：求函数解析式

（1）．待定系数法

例1．（1）已知一次函数f(x)满足f(0)5，图象过点(2,1)，求f(x)；

（2）已知二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，图象过原点，求g(x)；

（3）已知二次函数h(x)与x轴的两交点为(2,0)，(3,0)，且h(0)3，求h(x)；

（4）已知二次函数F(x)，其图象的顶点是(1,2)，且经过原点，F(x)．

解：（1）由题意设

f(x)axb，

∵f(0)5

且图象过点(2,1)，

2b5a2 

b52ab1 ∴f(x)2x5．

∴

（2）由题意设

g(x)axbxc，

∵g(1)1，g(1)5，且图象过原点，

2abc1a3

∴abc5 ∴b2

c0c0∴g(x)3x2x．

（3）由题意设

h(x)a(x2)(x3)，

又∵h(0)3，

∴6a3

得a

21121 ∴h(x)xx3．

2221

（4）由题意设

F(x)a(x1)22，

又∵图象经过原点，∴F(0)0，∴a20 得a2，

∴F(x)2x24x．

说明：①已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法；

②基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。

（2）配凑法与换元法

例2．（1）已知f(x)x24x3，f(x1)；

（2）已知f(x1)x22x，求f(x)．

解：（1）f(x1)(x1)24(x1)3x22x．

（2）法一配凑法：f(x1)(x1)22x12x

(x1)24x1

(x1)24(x1)3

∴ f(x)x24x3．

法二换元法：令x1t，则xt1，

f(t)(t1)2(t1)t4t3

∴ f(x)x4x3．

2练习：（1）已知f(3x)2x1，求f(x)；

（答案：f(x)22222x1）

9121f(x)，求．（答案：f(x)x3）

2x说明：①已知f(x)的解析式，求f[g(x)]时，把x用g(x)代替；

y

②已知f[g(x)]的解析式，求f(x)时，常用配凑法或换元法。

（2）已知f(x)x21x3．分段函数解析式

例3．函数在闭区间[1,2]上的图象如右图所示，则求此函数的解析式。

1

x1(1x0)解：f(x)1．

x(0x2)20

1

1

2

x

4．实际应用问题

例4．把长为a的铁丝折成矩形，设矩形的一边长为x，面积为s，求矩形面积s与一边长x的函数关系式。

1(a2x)，

211a2

∴

sx(a2x)xax

（x(0,)）．

222解：设矩形一边长为x，则另一边长为说明：在解决实际问题时，求出函数解析式后，一定要写出定义域。

四．小结：1．待定系数法求函数解析式的一般方法；

2．配凑法及换元法；

3．实际问题。

2

五．作业：

补充： 1，求f(x)；

x （2）已知f(12x)x24x1，求f(34x)；

（1）已知f(x) （3）已知f(x1)x2x，求f(x)；

（4）已知f(x)3x1，g(x)2x3，求f[g(x)]，g[f(x)]；

（5）已知f(x)axb(a0)，且af(x)b9x8，求f(x)；

（6）已知f(x)是一次函数，若f[f(x)]9x3，求f(x)；

（7）已知二次函数yf(x)，满足当x1时有最大值25，且与x轴交点横坐标2的平方和为13，求yf(x)的解析式。

（8）已知f(x)是二次函数，且f(2x)f(3x1)13x26x1，求f(x)．

3