3.4.1 函数与方程教学内容分析

方程的根与函数的零点

（人版A本

第

三

章

第 1 节）

乳源瑶族自治县高级中学 陈维彪

一、内容分析： 《方程的根与函数的零点》是普通高中课程标准实验教科书(人教A版)《高中数学必修1》第三章第1节《函数与方程》的第一小节的内容.学生在初中就已经研究了一次函数与一元一次方程、一元二次函数和一元二次方程的知识，进入高中，又学习了一些基本初等函数的知识，掌握了作函数图象的基本方法和一定的看图识图方法, 具备初步的数形结合的能力,这为本节课利用函数图象和性质来判断函数零点的存在性及函数零点的个数提供了一定的知识基础.

函数是中学数学的核心内容之一，而函数零点是函数与方程联系的桥梁，又是数形结合思想、方程与函数思想的具体体现。全面地理解函数的零点存在性定理，能为后续探究用二分法求函数的零点提供方法指引，也为后续一元二次不等式、分析法、充分条件必要条件的学习埋下伏笔 ,因此,本节内容具有承前启后的作用.

二、教学目标

（一）知识与技能

1. 能够用函数图像与x轴的交点，解释方程根的意义. 2. 理解函数零点存在性定理，能够结合函数图像和性质判断函数零点的个数．

（二）过程与方法

通过研究具体的一次函数与一元一次方程、一元二次函数和一元二次方程的关系和动手实验再推广到研究一般的函数，学生经历探究-归纳-类比→应用的过程，感悟从特殊到一般的研究方法，感受数形结合、分类讨论、函数与方程的思想方法. （三）情感、态度与价值观

培养学生自主探究、合作交流的能力和严谨的学习态度. 三、教学重点、难点：

教学重点：函数零点存在性定理

教学难点：函数零点个数的判断

四、教案主体：函数零点存在性定理、函数零点个数的判断

教预

学计

步时教学内容

教师活动

学生活动

1

骤

间

1 课前一天

下发导学案

与本科组教师积极沟通并上网查阅资料，结合学生实际情况，精心设计导学案. 问题1来源于百度文库

问题2:提问班级后进生，体现分层教学，给学生的主动获取知识的机会.

从问题3设置悬念，激发学生的好奇心，尤其是吸引优等生，进而引入新课

独立或与同学交流完成导学案

2 2从分生钟

活中引入

更自然

问题1.现在有两组镜头（如下图所示）哪一组镜头能说明行人一定渡河了?第1 组河流河流第2 组河流河流

问题2.已知韶关市冬季某天的最低温度是凌晨0点的-5摄氏度，最高温度是下午二点的8摄氏度（假设温度变化是一直上升或者一直下降的），你能大致画出这段时间的温度变化过程的草图吗？在该天内，气温有几次达到0摄氏度？

问题3.方程x2x30

21.学生应该能够独立完成问题1和2；

2.根据学生的思维规律，可能立刻想到用求根公式计算，但是发现可行性不大，不得不等侯老师指导. 3.个别学生可能会研究函数在区间1,100的图像，获得答案

在区间1，100有无实数根？方程1234x210235x67890呢？

在区间1，100有无实数根？

设计意图：问题1、2从学生熟悉的生活经历引入，复习函数的单调性，让学生初步了解本节的数形结合思想；问题3复习已学一元二次方程知识，又设置悬念，提出认知冲突，调动学生的求知欲.既能达到复习的目的，又能为后续学习抛砖引玉，从而承前启后.

3 学生动手实验，

5分钟

1.问题4、5：见导学案片段1、2 2. 函数的零点存在性定理：若函数y=f(x)在区间a,b上的图像是一条连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，那么函数1提醒学生观察函数在a,b上是否连续，f(a)f(b)的情况. 2让不同层次的1学生都能完成问题4，而且画的图有很多种；

2学生都能完成问题5的表格，大部分学生能找到问题5的规律，但是表达的2

突破重点

yf(x)在区间a,b上有零点，即存在ca,b，使得f(c)0，这个c就是方程f(x)0的根

学生利用实物投影展示问题5不同的研究成果

3.借助多媒体展示问题的动态变化过程

不严谨. 3学生积极、自信地展示自己的成果

附：导学案片段1 问题4如图，函数f(x)的图像是从点Ax1,y1开始，终于点Bx2,y2的连续不断的曲线，请画出函数f(x)可能的图像，并指出函数f(x)的零点个数，以及你发现的规律.

导学案片段2

问题5. 画出函数yx22x3的图像，完成下表，并找出其有零点的规律. 1 区2 3 右端点函数值4 函数在该区间是否连续

5 6 函数在该区间是否存在零点

间左端点a,b

函数值f(a)

f(a)f(b)

f(b)

2,0

1,6

设计意图：学生课前通过导学案，研究二次函数的零点情况，以及具体的动手画图，能直观感受函数图像不间断、区间端点函数值乘积的结果与函数的零点的关系，课堂上自信地展示自己的探究结果，实现了课前、课中的衔接，体现了过程与方法，情感、态度与价值观目标与高效课堂的理念，学生经历系统的学习和思考，在教师的点拨下，能够很自然地归纳总结出函数零点存在性定理（这是我结合老教材对现在教材内容的改编，书本上只给了一段话，没有指出定理的名字，不利于师生交流），从而顺利达成本节课的知识与技能目标的一部分，同时也突出了重点.

4 正逆向思考

10分钟

问题6.导学案自学指导4：结合问题2、3，1指出问题6、7尝试用自己的语言表述你对零点存在性定是对定理的正向理解，问题8、

9理的理解. 是对定理的逆向（1）

该定理使用了哪些关健词？

（2）如果把“连续不断”删除，定理结论理解. 2.指出说明一个能否成立？若不能，请举反例. （3）f(a)f(b)0或f(a)f(b)0问题是错误的，3 1.学生都能解决问题6 2.大部分学生都能解决问题7，个别学生在教师的指导下或者组员的帮助下也能

，全面理解定理

只需要举一个反例. （4）在定理的条件下，区间(a,b)中零点3.当学生思考的的个数一定唯一吗？如果不一定唯一，你能差不多时，引导否添加条件，从而生成一个有唯一零点的判基础薄弱的同学借助二次函数的定方法. 图像与分段函数（5）.若函数f(x)在区间a,b上有零点，去思考

4.再让学生用实一定有f(a)f(b)0吗？举例说明

物投影，展示问题9的研究成果

（6）.若函数f(x)在区间a,b上有零点，5.运用几何画板，借助二次函一定有函数f(x)在区间a,b上的图像是数和分段函数，展示反例

一条连续不断的曲线吗？举例说明

时，有没有零点呢请举例说明？

解决

3.学生解决完问题7以后，问题8就不攻自破了. 4.个别学生能够想到借助分段函数解决问题9，部分学生在教师的指导下，也能想到，大部分同学解决不了.

设计意图：通过问题6的研究，培养学生的正向思维和逆向思维，学生能够更全面地认识函数零点存在定理.对学生进行正逆向思维训练还将为后续学习充分必要条件、反证法、分析法、概率等内容提供便利.

510例分题钟

探究，突破难点

导学案片段3：

例1.求函数f(x)lnx2x6的零点的个数. 方法1：根据函数f(x)lnx2x6的图像可知，函数f(x)只有一个零点. 方法2：借助上节课所学函数的零点的定义，可以令f(x)=0，转化为

1.如果学生没有想到方法3，要引导学生去思考. 2.对方法2提出疑问，为什么不写成lnx6x2lnx2x6，

记g(x)lnx,h(x)62x，在同一坐标系内画出它们的图像，发现只有一个交点，因此f(x)只有一个零点.

方法3.认为无需作图，根据函数或者lnx62x呢？指出其中的原理

4.总结求函数零点个数的方法. 对于例1：学生都能想到方法1,但是不能直接作图，只能借助几何画板

大部分学生可能会想到方法2 个别学生可能会想到方法3 对于例2：学生应该都能求出一个零点

大部分学生能求出两个零点

个别学生可能求出三个零点

f(x)lnx2x6的表达式结合复合函数的单调性可知f(x)在0,上是增函数，而对数函数经过点（1,0），所以可以尝

4

试计算f(1)40，就能得到函数f(x)只有一个零点. 例2.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xx3，则f(x)有几个零点？

解：（1）函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)0. （2）①借助例1的方法2、

3，可以利用图象法和单调性可知：x0时，函数有且只有一个零点. ②利用奇偶性的对称性可知x0时，函数有且只有一个零点. 综上所述，函数有三个零点.

设计意图：例1的设计主要是为了得出方法3、4：图象法和函数的单调性在求函数零点个数中的应用，例2的设计主要是为了介绍函数的奇偶性在求函数零点个数中的应用和分类讨论的思想.通过例1、

2的探究，初步掌握了判断函数零点个数的基本方法，顺利突破难点.同时，我还将设计微课供学生在课后复习.

710分分层钟

训练

，巩固提升

（一）感受理解

1.函数f(x)ax3在区间1,2上有零点，求a得取值范围. 2．若函数ymx26x2的图像与x轴只有一个公共点，求m的值. （二）思考运用

3. 若方程

1.巡视并给与适当的提示和个别指导,提醒学生注意问题1对零点存在性定理逆用时不一定成立

2.鼓励学生去尝试探究拓展题

3.再让不同层次的学生用实物投影，展示解答过程

第1题：学生都能完成

第2题：个别学生可能会忽略m0；

第3题：部分学生能够做出来

第4题：绝大多数同学都能解答出来，部分同学因为畏惧而放弃

7x2m13xm20的一个根在区间01，上，另一个根在区间2上1，求实数m的取值范围. （三）探究拓展

4. 已知定义在R上的函数yf(x)的图像是一条不间断的曲线，f(a)f(b)，其

5

中ab，设F(x)f(x)f(a)f(b)，

2（1）求证：函数F(x)在区间a,b上有零点. （2）当函数F(x)在区间a,b上满足什么条件时，函数F(x)只有一个零点？

设计意图：分层训练源于教材而又有所改编，目的是为了吃透教材，为了满足不同层次的学生的学习需求，是对学生掌握本节教学重点、难点情况的检测；教学中多次让不同层次的学生用实物投影，展示解答过程，真正做到教师尽可能的放手，学生尽可能的动手，提升学生的自信心，达到预设的教学效果.

8 3课分堂钟

小结，走进高考

课堂小结: 1.函数的零点存在性定理

2.一次函数、二次函数等基本初等函数

的零点个数：直接研究图像

3简单的复合函数的零点个数：

①借助图形计算器或几何画板作图

②借助函数的单调性

③借助函数的奇偶性

④转化为两个简单的基本初等函数的交点

注意零点存在性定理逆用时不一定成立

作业（走进高考）

1.（2014北京高考）已知函数1.你通过本节课的学习，有什么收获？

2.本节课学习的内容，你还有什么疑问？

学生都能想到总结零点存在性定理、判断零点个数的方法，个别学生会想到总结思想方法

f(x)6log2x在下列区间中，包含x零点的区间是（）f(x)A.0,1B.1,2C.2,4D.4,

2.（2013重庆高考改编）若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点位于区间_________(填序号) ①,a，②a,b，③b,c，④c,a

6

3.已知0a1，求函数yalogax的零点个数.

课堂小结和布置课后作业能够概括所学知识，加深学生的印象，还能在课后监测学生的掌握情况，为下节教学提供指导，实现课中、课后的联系，最终形成课前、课中、课后的综合联系. 9

板书设计与资源共享

1.板书设计

投影仪

课题：函数零点存在性的判定

1零点存在性定理

2零点个数的判定

例题

2.资源共享

（1）课件：班级QQ群、微信群

（2）微课：班级QQ群、微信群

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