1.1 集合的含义及其表示优质课教案内容

§1.1

集合

1.1.1

集合的含义与表示

第2课时

集合的表示

江苏省黄桥中学

项正宏

学习目标

1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法(重点). 2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合(难点)．

预习教材P3－P5，完成下面问题：

知识点

集合的表示方法

(1)列举法：

①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{

}”括起来表示集合的方法叫做列举法；

②形式：A＝{a1，a2，a3，…，an}．

(2)描述法：

①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；

②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．

【预习评价】

(1)集合{x∈N*|x－4<2}的另一种表示形式是(

) A．{0,1,2,3,4}

C．{1,2,3,4}

B．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5} (2)方程x2－1＝8的解集用列举法表示为________．

解析

(1)由x－4<2得x<6，又x∈N*，故x的值为1,2,3,4,5，用列举法表示为{1,2,3,4,5}．

(2)由x2－1＝8得x2＝9，即x＝±3，故其解集用列举法表示为{－3,3}．

答案

(1)D

(2){－3,3} - 1 -

题型一

用列举法表示集合

【例1】

用列举法表示下列集合：

(1)15的正约数组成的集合；

(2)不大于10的正偶数集；

2x＋y＋6＝0，(3)方程组的解集．

x－y＋3＝0

解

(1)因为15的正约数为1,3,5,15，

所以所求集合可表示为{1,3,5,15}．

(2)因为不大于10的正偶数有2,4,6,8,10，

所以所求集合可表示为{2,4,6,8,10}．

2x＋y＋6＝0，x＝－3，(3)解方程组得

x－y＋3＝0，y＝0.

所以所求集合可表示为{(－3,0)}．

规律方法

用列举法表示集合的三个注意点

(1)用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性．

(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便．

(3)搞清集合是有限集还是无限集是选择恰当的表示方法的关键．

【训练1】

用列举法表示下列集合：

(1)绝对值小于5的偶数；

(2)24与36的公约数；

x＋y＝2，(3)方程组的解集．

2x－y＝1

解

(1)绝对值小于5的偶数集为{－2，－4,0,2,4}，是有限集．

(2){1,2,3,4,6,12}，是有限集．

x＋y＝2，x＝1，(3)由得

2x－y＝1，y＝1.x＋y＝2，x＋y＝2，x＝1，∴方程组的解集为{(x，y)|}＝{(x，y)|}＝{(1,1)}，是有2x－y＝12x－y＝1y＝1

限集. 典例迁移

题型二

用描述法表示集合

【例2】

用描述法表示下列集合：

(1)正偶数集；

(2)被3除余2的正整数的集合；

- 2 -

(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．

解

(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．

(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．

(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．

【迁移1】

(变换条件)例2(3)改为“用描述法表示平面直角坐标系中位于第二象限的点的集合．”

解

位于第二象限的点(x，y)的横坐标为负，纵坐标为正，

即x<0，y>0，故第二象限的点的集合为{(x，y)|x<0，y>0}．

【迁移2】

(变换条件)例2(3)改为“用描述法表示图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合．”

解

本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言．用描述法表示(即31用符号语言表示)为{(x，y)|－1≤x≤，－≤y≤1，且xy≥0}．

22规律方法

用描述法表示集合的注意点

(1)“竖线”前面的x∈R可简记为x；

(2)“竖线”不可省略；

(3)p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；

(4)同一集合用描述法表示可以不唯一．

题型三

集合表示方法的综合应用

8【例3】

(1)用列举法表示集合A＝x|x∈Z，且6－x∈N＝________. (2)集合A＝{x∈kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A. (1)解析

∵x∈Z且8∈N，∴1≤6－x≤8，－2≤x≤5.当x＝－2时，1∈N；当x＝－16－x8488时，∉N；当x＝0时，∉N；当x＝1时，∉N；当x＝2时，2∈N；当x＝3时，∉N；当x＝73534时，4∈N；当x＝5时，8∈N.综上可知A＝{－2,2,4,5}．

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答案

{－2,2,4,5} (2)解

①当k＝0时，原方程为16－8x＝0. ∴x＝2，此时A＝{2}；

②当k≠0时，

∵集合A中只有一个元素，

∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根．

∴Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 从而x1＝x2＝4，∴A＝{4}．

综上可知，实数k的值为0或1. 当k＝0时，A＝{2}；

当k＝1时，A＝{4}．

规律方法

1.识别集合的两个步骤：

一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集；

二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性)．

2．方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数

在涉及ax2＋bx＋c＝0的根的集合中，要讨论二次项的系数a是否为0，当a＝0时，方程为bx＋c＝0是一次方程，再分b是否为0两种情况讨论其根的个数；当a≠0时，方程ax2＋bx＋c＝0为二次方程，结合判别式的符号判定其根的个数．

【训练2】

用列举法表示下列集合．

(1)A＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；

(2)B＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．

解

(1)因为y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，

所以x＝0,1,2时，y＝6,5,2，符合题意，

所以A＝{2,5,6}．

(2)(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，

x＝0，则应有y＝6，

x＝1，y＝5，

x＝2，

y＝2，

所以B＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．

课堂达标

1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(

) A．{1,1}

B．{1} C．{x＝1}

D．{x2－2x＋1＝0} 解析

集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}．故选B．

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答案

B 2．下列各组集合中，表示同一集合的是(

) A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)} B．M＝{3,2}，N＝{2,3} C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{3,2}，N＝{(3,2)} 解析

由于集合中的元素具有无序性，故{3,2}＝{2,3}．

答案

B 3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,9}，x∈A，且x∉B，则x＝(

) A．1

B．2

C．3

D．9 解析

比较A和B中的元素可知x＝2. 答案

B 4．大于3并且小于10的整数的集合用描述法表示为________．

解析

设该数为x，由题意得3

答案

{x|3

(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；

(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合；

(3)一次函数y＝x＋6图象上所有点组成的集合．

解

(1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，则用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}．

55(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是，－2，用列举法表示为3，－2. 3(3)一次函数y＝x＋6图象上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y＝x＋6}．

课堂小结

1．集合表示的要求：

(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则；

(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．

2．在用描述法表示集合时应注意：

(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；

(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存- 5 -

真，而不能被表面的字母形式所迷惑．

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