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导数的定义与运算

1.平均变化率与瞬时变化率：

平均变化率：已知函数yf(x)，x0,x1是其定义域内不同的两点，记：xx1x0，

yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，则当x0时，

yf(x0x)f(x0)称作函数yf(x)在区间[x0,x0x]（或[x0x,x0]）

x(x0x)x0的平均变化率.

瞬时变化率：当x1趋近于x0时，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的常数，

f(x0x)f(x0)y，那么这个值就是函数yf(x)在点x0的瞬时变化率. limx0xx0(x0x)x0lim

2.在数学中，称x0点瞬时变化率limf(x0x)f(x0)y为函数yf(x)在x0limx0xx0(x0x)x0f(x0x)f(x0). (x0x)x0点的导数.通常用符号f(x0)表示，记作：f(x0)lim

x03.导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数就是曲线

yf(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率，

即kf(x0)，相应的切线方程是：yy0f(x0)(xx0).

4.基本初等函数的求导：

①C0；②(x)nxnn1；③(sinx)cosx；④(cosx)sinx；

xxxx⑤(a)alna；⑥(e)e；⑦(logax)11；⑧(lnx). xlnax

5.导数的运算法则：①(f(x)g(x))f(x)g(x)；

②(f(x)g(x))f(x)g(x)f(x)g(x)（特别地有(cf(x))cf(x)，其中c为常数）

③(f(x)f(x)g(x)f(x)g(x))（g(x)0）

2g(x)(g(x))1

理6.复合函数的求导：复合函数yf(g(x))的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 例：求yln(2x1)的导数，ylnu,u2x1yxyuux122

u2x1

用导数研究函数的性质：

7.导数与单调性：一般地，在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：

导数

函数的单调性

单调递增

单调递减

常函数

f(x)0

f(x)0

f(x)0

函数的单调性

单调递增

单调递减

常函数

8.导数与极值：

(1)极小值点与极小值

一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：

导数

f(x)0

f(x)0

f(x)0

如图，函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值．

(2)极大值点与极大值

如图，函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则把点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值．

(3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

2

2．求函数yf(x)的极值的方法

解方程f(x)0，当f(x)0时：

(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值．

(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值．

定积分：

9.定积分的定义：一般地，设函数yf(x)在区间[a,b]上有定义，将区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为x

（xba），在每个小区间上取一点，依次为1,2,,n，

n作和：Snf(1)xf(2)xf(n)x，

如果当x0（即n）时，SnS为常数，那么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为：Sbaf(x)dx. 其中，f(x)称为被积函数，[a,b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限.

10.定积分的几何意义：

定积分baf(x)dx表示在区间[a,b]上曲线yf(x)与直线xa，xb以及x轴所围成的平面图形（曲边梯形）的面积的代数和.即：的面积取正号，在x轴下方的面积取负号）

baf(x)dxSx轴上方Sx轴下方（在x轴上方①当x[a,b]时，若f(x)0，由直线xa，xb以及x轴和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积Sbaf(x)dx

②当x[a,b]时，若f(x)0，由直线xa，xb以及x轴和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积S|

3

baf(x)dx|f(x)dx

ab

11.定积分的性质：

①②③babkf(x)dxkf(x)dx（k为常数）；

abab[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx；

aabbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx（其中acb）；

accb④利用函数的奇偶性求定积分：

若f(x)是[a,a]上的奇函数，则若f(x)是[a,a]上的偶函数，则

12.微积分基本定理：

b若F(x)f(x)，且f(x)在[a,b]上可积，则：f(x)dxF(x)|aF(b)F(a)，

abaaaf(x)dx0；

f(x)dx2f(x)dx. 0aa（其中F(x)叫做f(x)的一个原函数，因为(F(x)c)F(x)f(x)）

x1c(1)；

①0dxc（c为常数）；②1dxxc；③xdx11axxxxc(a0,a1)；

④dxln|x|c；⑤edxec；⑥adxxlna⑦sinxdxcosxc；⑧cosxdxsinxc.（计算后需检验）

13.曲边梯形与面积：

若两条曲线f(x)，g(x)（f(x)g(x)）与直线xa,xb（ab）所围成的曲边梯形的面积：

Sf(x)dxg(x)dx[f(x)g(x)]dx

aaabbb

14.定积分的物理意义：

①作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数vv(t)（v(t)0）在时间区间[a,b]上的定积分，即：Sbav(t)dt. ②变力做功物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb（ab），那么变力F(x)所做的功WF(x)dx. ab4