阅读与思考 中外历史上的方程求解课时教学实录

3.1.1 方程的根与函数的零点

（一）教学目标

1．知识与技能

（1）理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系. （2）由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和数形结合思想. 2．过程与方法

由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的关系，从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力. 3．情感、态度与价值观

在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨证思想，享受数学问题研究的乐趣. （二）教学重点与难点

重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法. 难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用. （三）教学方法

在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合. （四）教学过程

问题一 请大家回忆初中研究过的一个问题：一次函数与相应的一元一次方程之间的关系．先用自己的语言叙述相关的结论，之后再分析这些结论中蕴含的数学思想有哪些，从中你得到什么启示？

“解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．”

1．化归的数学思想方法．双向的．

2．数形结合的数学思想方法．

3．函数思想．

4．三维角度认识问题．

方程ax+b=0（a≠0）的根x0，就是使得函数y=ax+b的值为0时的自变量x的值x0，也就是函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标x0． 问题2 完成下表，类比一元一次方程与一次函数的关系，思考：一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？

方程ax+bx+c=0 2x1， x2

(a＞0)的根

函数y=ax+bx+c(a＞0)草图，图象与x轴的交点个数及坐标

函数y=ax+bx+c(a＞0)的零

点

22x0

没有实数根

问题3 对于一般函数y=f(x)，如何定义它的零点？一次、二次函数及其相应的方程的关系对于一般函数y=f(x)

及其相应的方程f(x)=0是否成立？ 活动结果1：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点．

活动结果2：一般函数y=f(x)与其相应的方程f(x)=0的关系：

方程f(x)=0有实数根x0

函数y=f(x)的图象与x轴有交点（x0，0）

函数y=f(x)有零点x0 问题4 （1）对于给定的每个函数，根据函数图象写出多个区间，使得函数在每个区间内存在零点；（2）观察你写的区间，写出能保证函数在该区间内存在零点的条件？（3）再根据函数的定义，随意画几个函数的图象，验证你得到的结论是否成立?

（1）y=3x-2；（2）y=2x+x-1；(3)y=x+2x+1；（４） y= 1-22

（５）

零点存在性的判定方法：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=

0，这个c也就是方程f(x)=0的根．

例1：P92题1. 例2：已知函数f(x)=㏑x＋2x－6．

(1)函数f(x)有零点吗？若有指出零点所在的区间．

(2)函数f(x)有几个零点?为什么?

例3：判断方程

㏑x+2x=6有几个实根?写出它的根所在的区间?

问题5：通过本节课的学习，你有什么收获？请从知识、技能、数学思想方法、解决问题的经验等方面谈谈你的感想．

问题6：你觉得接下来该研究什么问题呢？

作业：

1.P88练习1 2. 若函数f(x)的图象是连续不断的曲线，且f(0)＞0，f(1)

f(2)

f(3)＜0，则下列命题正确的是（ ）

A 函数f(x)在区间(0,1)内有零点

B 函数f(x)在区间(1，2)内有零点

C 函数f(x)在区间(0,2)内有零点

D 函数f(x)在区间(0,4)内有零点

3. 1）已知函数f(x)= ax+2ax+3a-4在区间(-1,1)上有零点，求实数a的取值范围．

2）已知函数g(x)=

x(x-1)(x+1) 的图象如图1所示，设函数f(x)=

x(x-1)(x+1)+0.001，则对于方程f(x)=0的下列判断中正确的是 ．

①有三个实数根；②当x＜-1时恰有一实根；③当-1＜x＜0时恰有一实根；④当0＜x＜1时恰有一实根；⑤当x＞1时恰有一实根．

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