习题2.3课堂实录【2】

幂函数习题课

教学目标：

结合函数yx,yx,yx,yx,yx1的图象，进一步理解和掌握幂函数的图象和性质。

重点难点

2312幂函数的图象和性质的应用。

教学过程

1．知

识

梳

理

1．1 幂函数yx随着的不同，定义域、值域都会发生变化。可以采取按性质和图象分类记忆的方法。先要熟练掌握yx,yx,yx,yx,yx1的图象和性质。

1．2常见的5种幂函数的图象

2312（图1）

1．3幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2．例题分析

例1

已知幂函数f(x)＝k·x的图象过点，α1A.2

B.1

12，则k＋α＝(

) 223C.2

D.2 α121解析

因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.又f(x)的图象过点，，所以2＝22

21132，所以α＝2，所以k＋α＝1＋2＝2. 答案

C 例2已知a2,b3,c25，则(

) 432313A.b

B.a

C.b

D.c

解析

因为a＝24,b＝3，c＝5又y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以c>a>b. 答案

A

例3：图2为幂函数y=x在第一象限的图象，

则C1，C2，C3，C4的大小关系为

[

]．

A．C1＞C2＞C3＞C4

B．C2＞C1＞C4＞C3

C．

C2＞C4＞C3

＞C1

D．C1＞C4＞C3＞C2

n4323232323

43211111

2222ccccC1＞C2＞C3＞C4

应选A．

评述

幂函数y=xn在第一象限内的图象均过点(1，1)，在区间(1，+∞)上，n的值越小，图象越靠近x轴．

如果幂函数f(x)＝x13p2p22(p∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式．

解

∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

13∴－p2＋p＋>0，即p2－2p－3<0. 22∴－1

∴p＝1，故f(x)＝x2. 3．课堂练习

14，，那么f(8)的值为

(

) 3．1 幂函数y＝f(x)的图象过点2A．26

答：C 3．2 已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)·xA．0

C．1

答：B 3．3对于函数y＝x，y＝x有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型．

其中正确的有__________．

答：①②⑤⑥

3．4已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1. (1)若存在x∈R使f(x)

(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围．

解

(1)∃x∈R，f(x)0⇒b<0或b>4. (2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，

Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4. 2525①当Δ≤0，即－≤m≤时，则必需

55212

B．64

C.2

4

1D.

6473t2t25(t∈N)是偶函数，则实数t的值为(

)

B．－1或1 D．0或1

2525－≤m≤55m≤02

25⇒－≤m≤0. 52525②当Δ>0，即m<－或m>时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1

55m2≥1m若≥1，则x1≤0，即2F0＝1－m2≤0

⇒m≥2；

m2≤0m若≤0，则x2≤0，即2F0＝1－m2≥025⇒－1≤m<－；

5综上所述：－1≤m≤0或m≥2. 小结：幂函数yx的性质

课外作业：见学案