小结板书设计及意图

第一章

集合与函数概念

集合的运算

集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算．在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误．具体数集的运算一般采取数轴法，而抽象集合的运算常用Venn图法，运算时特别注意对∅的讨论．

全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2

(2)若集合C＝{x|x>a}，A⊆C，求a的取值范围．

【思路点拨】

(1)利用交、并、补集的定义求解相应问题．

(2)借助数轴求a的取值范围．

设全集U＝R，A＝{x|x>1}；B＝{x|x＋a<0}，且B∁UA，求实数a的取值范围．

函数的概念

函数的概念考查主要是对函数三要素：定义域、值域、对应法则的考查，其中定义域是研究函数任何问题的前提条件，而求函数的解析式、值域(最值)问题是高考的重点、热点．

已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等实根．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的值域．

【思路点拨】

(1)用待定系数法求解；(2)借助于二次函数的图象，利用函数的单调性求解．

x2＋1，x<1已知函数f(x)＝2若f(f(0))＝4a，则实数a等于(

) x＋ax，x≥1.

14A.2

B.5

C．2

D．9

函数的图象

函数的图象是变量间的直观反映，它能形象地分析出变量间的变化规律，是研究函数其他性质的工具．在新的高考理念的指导下，函数的图象将成为考查学生理性思维的一个重要切入口．

图1－1

向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图1－1所示，那么水瓶的形状是(

)

【思路点拨】

观察图象的变化情况，根据注水量的变化确定水瓶的形状．

【解析】

随水深逐渐变大注水量增加的越来越缓慢，这说明水瓶下口大，上口小．应选B. 【答案】

B

某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行．下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是(

)

【解析】

开始由于骑自行车走，速度快，因而离学校距离单位时间内变化率大，当自行车爆胎推车步行后，速度较慢，离学校距离单位时间内变化率变小．由此分析可知，较符合该学生走法的图是D. 【答案】

D

函数性质及应用

研究函数的性质往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手．尤其是函数的单调性与奇偶性更为重要．从近几年高考形势分析，考查题目以“小”、“巧”、“活”的特征出现，学习时应重视．

设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则(

) A．f(－x1)>f(－x2) B．f(－x1)＝f(－x2) C．f(－x1)

【思路点拨】

解答时应先弄清x2的范围及与x1的大小，然后根据单调性与奇偶性之间的关系求解．

已知函数f(x)在区间[－5,5]上是偶函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)

) A．f(－1)f(－1) D．f(－3)

函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f(3)

由已知条件及偶函数性质，知函数f(x)在区间[－5,0]上是增函数．

选项A中，－3<－1，故f(－3)

选项B中，0>－1，故f(0)>f(－1)．

同理选项C中f(－1)＝f(1)；

选项D中f(－3)>f(－5)．

【答案】

B

数形结合思想

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数和形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，它具有形象、直观的特征．

本章中涉及数形结合的知识点有：在集合中借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算；借助一次函数、二次函数等图象研究了函数的单调性、奇偶性等性质．

已知集合A＝{x|－2

(1)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；

(2)若AB，求实数m的取值范围．

【思路点拨】

借助于数轴的直观作用，注意端点的取舍．

【规范解答】

(1)如图所示，由数轴知，若A∩B＝∅，只有m≤－2.

(2)如图所示，若AB，只有m≥4.

已知全集U＝{x|x取不大于30的素数}，A、B是U的两个子集，且A∩(∁UB)＝{5,13,23}，(∁UA)∩B＝{11,19,29}，(∁UA)∩(∁UB)＝{3,7}，求集合A，B. 【解】

∵U＝{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}，用图形表示出A∩(∁UB)、(∁UA)∩B及(∁UA)∩(∁UB)．

得∁U(A∪B)＝{3,7}，A∩B＝{2,17}，

∴A＝{2,5,13,17,23}，B＝{2,11,17,19,29}．

分类讨论思想

解分类讨论问题的实质是把整体问题化为几部分来解决，化成部分后，也就增加

了题设条件，这也是解分类问题总的指导思想．

本章中涉及分类讨论的知识点有：集合运算中对∅的讨论、二次函数在闭区间上的最值问题、函数的性质中求参数的取值范围问题、含参数的函数奇偶性判断问题等．

判断函数f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a∈R)的奇偶性．

【思路点拨】

函数解析式中含有参数a，须要对参数a分情况讨论．

设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值g(t)的表达式．

【解】

二次函数是确定的，但定义域是变化的，依t的大小情况作出对应的图象(抛物线的一段)，从中发现规律．

f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴x＝1，作出其图象如图所示．

(1)

(2)

(3) 当t＋1≤1，即t≤0时，如图(1)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，

所以g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；

当1

当t＋1>2，即t>1时，如图(3)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2. 综上，函数f(x)在区间[t，t＋1]，t∈R上的最小值g(t)的表达式为g(t)＝2t＋1，t≤01，01.