阅读与思考 中外历史上的方程求解教案和课堂实录

《中外历史上的方程求解》教学设计

教学目标：

1、了解中外历史上的方程求解的那些人、那些事、那些方法。

2、了解历史上方程及方程求解历程。

3、了解中国人在方程以及方程求解上的巨大贡献。

教学重点、难点：

培养学生对数学的兴趣和情感。

教学设计: 一、引入

在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的风月。下面请大家阅读教材第九十一页的内容，一起去理解在这漫长岁月中的那些人、那些成就，并把重要的著作、重要的人、重要的方法分中外列举出来。

二、学生阅读教材

三、学生口述自己整理的材料

四、讲述数学史上方程以及方程求解的一些有意思的人和他们的故事

1、方程与方程的公式解

方程即含有未知数的等式。一元一次方程的问题在古埃及人用象形文字写成的纸草书中已经出现，巴比伦人已经知道某些特殊的二次、三次方程的解法，但当时实际的解法只是由观察某些简单的数字关系而得到答案。《九章算术》的第八章“方程”，给出了联立一次方

程组的普遍解法，并且使用了负数。这在数学史上具有非常重要的意义。我国古代是用算筹来运算的。未知数不用符号表示，只是将各个系数用算筹依次布列成方阵的形式。“程”是度量的总称，也有计量、考核的意思。“方程”的名称，就来源于此。

阿尔花拉子米引入“移项、对消”的算法后，方程的概念逐渐明确起来。花拉子米把未知数叫做“根”，是树根、基础或事物根本的意思。后来译成拉丁文后，这个字便有了双重意义，它可以指一个方程的根，又可以指一个数的方根，一直沿用至今。

我国古代数学家对方程研究造诣很深，很早以前就对列方程、解方程有一套完整的方法。宋元时代，我国数学家已经创造了一种列方程的一般方法——“天元术”，“天元”代表未知数，就是现在的“元”，列方程时首先是“立天元一为某某”，就是现在说的“设某一个未知数x为某某”。欧洲的数学家直到十六、十七世纪才掌握布列方程的知识，我国在这方面领先了四百年以上。

一元二次方程的配方法源于古代的图解法。无论我国或是希腊、阿拉伯、印度，最初对二次方程都常用图解法求根。印度花拉子米在他的《代数法》中给出了一元二次方程的一般解法，他的推理方法大部分是几何的，而且一切算法都是用文字来表达的，不可能写出今天的公式。后来，拜斯迦进了一步，对无理式进行研究。虚数根的应用归功于卡尔达诺，但这最初是在解三次方程时引入的。

到十六世纪，韦达发现一元二次方程在复数范围内恒有解，他对代数符号作了一系列改进，从此人们的思路和书写更加紧凑和有效。

在此基础上代数得到了迅速的发展。这时印度的数学家把二次方程的求根公式用数学符号表达出来。

对于三次方程早在古巴比伦的文献中就有记载。七世纪初期，我国唐朝数学家王孝通所著的《缉古算经》一书记载了不少的三次方程。阿拉伯人也很早就研究过三次方程。但在上千年的漫长岁月中，人们寻求三次方程的求根公式一直没有进展。直到1494年，意大利数学家帕克里还宣称一般的三次方程是不解的。但紧接着意大利数学家塔塔利亚就发现了三次方程的公式解法，几乎立即就由另一位意大利数学家费拉里发现四次方程的解法，这两种方法由卡尔达诺在其著作《大术》中公开发表。

自从三次、四次方程得到解决之后，五次以上方程的代数解法问题就提到议事日程来了，但在长达三百多年的时间里，人们的各种尝试都失败了，十七世纪时英国数学家格里高利曾提出猜想：对于n大于四的一般n次方程是不能用代数方法求解的，但长时间没人能够证明这个结论。法国著名数学家拉格朗日分析了这个问题，也碰了壁，但他的工作启发了挪威年轻的阿贝尔。1824年他严格地证明了高于四次的一般代数方程不可能有一般形式的代数解，此时他年仅22岁，尚未大学毕业，他的论文没人能理解，他曾将该论文寄给伟大的高斯，也未引起高斯的注意。1826年此论文才得公开发表，但在欧洲大陆未获得应有的重视。稍后，柏林大学聘请他为数学教授，但聘书寄到之日，他已因贫病交迫郁郁去世。这时他27岁。阿贝尔虽然解决了“向人类智慧挑战”的难题，但并没有结束高次方程的求解问题。阿

贝尔只证明了高于四次的一般代数方程不可能有一般形式的代数解，没有指出哪些特殊的方程存在代数解。这个问题后来被法国天才的年轻数学家伽罗瓦解决，伽罗瓦创设了理论可解性判别准则，并因此开辟了数学的新领域——群论。

2、三次方程公式解的故事

卡尔达诺，意大利人。他是第一流的数学家、严肃的哲学家，具有精确观测习惯的物理学家和技艺高超的医生，又是一个不肯罢手的赌徒，虔诚的占星术士，说话靠不住的人和盲目迷信的受害者。1535年2月，在意大利有一次公开的数学竞赛，竞赛双方是都声称解决了三次方程求解问题的塔塔利亚和博洛尼亚大学数学教授费洛的学生菲奥，双方各给对方出三十个三次方程，谁解得最多、最快、最正确，谁就获胜。结果，塔塔利亚在两个小时内解完所有的题，而菲奥一个也解不出来。这次竞赛的获胜，使塔塔利亚驰名于意大利。但他很清楚，自己的解法仍然不完善。此后又经过一段深入的研究，直到1539年才真正得到三次方程的一般解法。不久，在卡尔达诺软缠硬泡并立誓保密的情况下，他把自己的方法透漏给了卡尔达诺。然而卡尔达诺并没有坚守自己的诺言，在所著《大术》一书中介绍了三次方程的解法，故后世称此公式为“卡尔达诺公式”。

卡尔达诺在《大术》中曾指出“塔塔利亚在我的恳求下把这方法告诉了我，但没有给出证明，在此帮助下我找到了几种方证法，它是非常困难的”。尽管说明了方法的来源，但这件事引起了塔塔利亚的愤怒。他向卡尔达诺挑战，要求公开竞赛，双方各出引题，限15天

交卷。这次卡尔达诺的学生费拉里参加了比赛，但经过五个月才交出答案，并且只做对了一题。塔塔利亚则在7天之内解出了大部分题目，再次获胜。

3、伽罗瓦的故事

伽罗瓦，十九世纪初法国天才的数学家，群论的奠基人。他自幼受到良好的教育，中学时代已显露出数学上的巨大天赋，17岁那年就在法国《数学年鉴》上发表了一篇论文。然而，他短暂的一生充满了坎坷与不幸：18岁那年身为一个小镇长而具有自由主义倾向的父亲因不堪忍受旧势力的诬陷而自杀；他两次投考当时最著名的学府多科工艺学校都未成功；1829年虽然进入高等师范学校读书，但因与校长政见不合，一年后即被开除；伽罗瓦曾三次向法兰西科学院里递自己的研究报告，负责审查报告的著名数学家柯西、傅里叶、泊松等人不是把报告弄丢了就是宣判为毫无价值；他因仇视君主专制而两次被捕，在法庭上慷慨陈词攻击复辟派，在狱中仍从事数学研究；1832年5月31日，在他获释出狱的一个月后，死于一场爱情纠纷引起的决斗中，时年21岁。决斗前夕，伽罗瓦致书友人，请他将自己的研究结果向雅科比和高斯这两位德国数学家问教，“但不是谈论定理的正确与否，而是谈论这些定理的意义。”然而直到14年后，伽罗瓦的数学手稿才由数学家刘维尔在自己创办的杂志上部分发表。1870年数学家约当详细阐述了伽罗瓦的理论，世人才逐渐认识到这位早夭的天才给人类留下了多么宝贵的遗产——伽罗瓦的理论给整个代数学带来了一场革命，揭开了近世代数的新篇章。

五、作业

请上网查阅二分法、牛顿法、拟牛顿法、弦截法等知识