探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系教案3

2、2、2、3 互为反函数的两个函数图象之间的关系

四川省平昌中学 曹兴旺

（教师注意：新课改之后反函数的地位下降了，应该说是明显的下降了.反函数不再是一个单独的章节，甚至反函数的定义也不再是明确的单独给出，而是泛泛的给出.老师们要注意到这个细节的变化，反函数已经不再是我们教学的重点了.所以这一节课我的重点是点出反函数的概念，而不是细细的讲解，不要过分的加重学生的负担.）

一、【学习目标】

（自学引导：这节课的重点是点出反函数的定义，让学生对反函数有一个大概的印象，而不是深入讲解反函数的概念，这一点，老师们要注意，不要在教学生陷入误区）

1、会熟练的画出对数函数的图像，能通过类比得出反函数的定义；

2、理解图像平移的深邃内容；通过题目巩固函数奇偶性的知识. 【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生把握好学习的任务.

二、【自学内容和要求及自学过程】

阅读教材第73页反函数的内容，结合下列材料，然后完成问题

(教师注意：这一部分我个人认为重点在于函数的图像，因为反函数新课标的要求比较低，所以我们要把重点放在点出互为反函数的两个函数的图像关于直线yx对称上，而不是定义上，我甚至认为，互为反函数的两个函数的定义域和值域互相对应也不用提.因为新教材上连f1(x)这个符号都没有给，可见这部分已经不再是重点）

（教师注意：列表描点连线最好是老师自己演示一下，若是让学生演示，则会浪费太多的时间.按理说，培养学生的作图功底应该是初中老师的事情，但是事实往往不尽如人意，很多学生上了高中时候作图规范化的程度还是很低的，所以老师演示一遍或者让学生课下按照规定的步骤画图，老师上课检查也可以.) 材料一：用列表、描点、连线的方法在同一坐标系中画出下列函数图像：y2x、ylog2x、yx，如下图所示：

(教师注意：下图是用几何画板作图的，有条件的话老师可以给学生演示一下，因为人教A版对学生的计算机知识也要求涉及，特别是我们以后学习算法，事实上就是计算机编程的初步）

fx = 2xgx = lnxln246hx = x2-10-5510-2-4

（教师注意：下面这三个问题事实上是让学生自学的，这三个问题也是老教材上关于反函数的重点，这些问题若是学生会了，更好，不理解也不必深究，当然若是有学生问道，老师还是要做出讲解的.我们的重点是得出反函数的求解过程和互为反函数的两个函数图像时关于直线yx对称的）

-6（1）通过图像探索在指数函数y2中，x为自变量，y为因变量，如果把y看成自变量，

x

x当成因变量，那么x是y的函数吗？对应关系是什么呢？

（2）通过观察，函数xlog2（3）那么y2与ylog2xy与函数y2x的图像是什么关系？

x的图像又是什么关系？

xx 结论：（1）在指数函数y2中，x为自变量，y为因变量，y是x的函数，而且其在R上是单调递增函数，过y轴的正半轴上任意一点做x轴的平行线，与y2得图像有且只有一个交点，即对任意的y，都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数；对应关系：由指数式和对数式关系，y2x得xlog2y，即对于每一个y，在关系式xlog2y的作用之下，都有唯一确定的值x与之对应，所以可以可以把y作为自变量，xx作为y的函数，即xlog2y.这时我们把函数xlog2y叫做函数y2的反函数，但习惯上，通常用x表示自变量，y表示因变量，所以，我们把x、y对调，写成ylog2x，xx这样ylog2x就是函数y2的反函数，容易知道，y2与ylog2x是互为反函数x的；（2）通过观察，我们知道函数xlog2y与函数y2的图像是同一个函数；（3）通x过观察我们知道y2与ylog2x的图像关于直线y=x对称. 思考：y2与xlog2xy是相等关系，你能理解吗？请思考之. 归纳：由以上推导，我们可以仿照上述过程得到，同底的指数函数和对数函数互为反函数，他们的图像关于直线y=x对称.即yloga且a≠1）

【教学效果】：由于简化了反函数的概念，所以效果还是比较理想的. 阅读材料二，然后请同学们总结归纳出结论

（教师注意:其实这一块在前面学习指数函数的时候已经涉及，图像的平移是我们贯穿整个函数学习的灵魂部分，也是我们运用数形结合的思想的前提，所以我们在学习完每一个函数之后，要把做函数图像当做我们的首要目标来抓）

材料二：①用几何画板在同一坐标系中画出下列函数图像ylog3x（a>0且a≠1）的反函数是yax（a>0x

、ylog（）、3x1ylog（）

3x1fx = lnxln3lnx+1ln3lnx-1ln346gx = hx = 2-10-5510-2-4-6

②用几何画板在同一坐标系内绘制下列函数

ylog3x、ylog3x+1、ylog3x-1

fx = lnxln3lnxln3lnxln3+16gx = hx = 4-12-10-5510-2-4-6

（4）你能从图像上看出函数图像的平移关系吗？

（教师寄语：到此为止，函数的平移同学们应该学习的很不错了，要记住口诀：“正减负加”，这是我们学习的重点.其实学***移对于我们判断函数的增减性、奇偶性、周期性和利用数形结合的思想很有用的.）

思考：图像的平移其实只用四个字概括：正减负加，你能理解其中的含义吗？

【教学效果】：百分之八十的同学已经理解了函数图像平移问题.

三、【练习与巩固】

根据今天所学习的知识，完成练习

练习一：若1

ylog2(log2x）（小技巧：练习一可以用赋值法来做.譬如设log2x0.5，则下面问题迎刃而解）

练习二：若函数性，并证明之. （小技巧：练习二事实上是把四、【作业】

log2x2，ylog2x2，f(x23)loga[x2(6x2)]，请你试着判断判断函数f(x)的奇偶f(x23)化成f(t)的形式来解题.）

）1、必做题：画出下列三个函数的图像，并观察三个函数图像之间的联系.ylog（、3x1ylog（）+1、ylog3x；

3x12、选做题：把材料一下面的思考题讨论一下，形成文字，说出你的见解. 五、【小结】

这节课我们主要学习了反函数的相关知识和图像平移的相关知识，通过这节课的学习，同学们要知道互为反函数的图像是关于直线yx对称的，这是我们要知道的重点，并且我们要知道一个函数的反函数是怎么得来的.