习题2.3教学设计(第一课时)

二次函数、幂函数

【知识梳理】

（一.）二次函数

1．二次函数的解析式

(1)一般式：f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式： f(x)＝a(x－h)＋k(a≠0)；

(3)两根式： f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

222．二次函数的图像和性质

二次函数f(x) ＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，a决定图像开口方向，a与b决定对称轴位置，c决定2b4ac－b

。

图像与y轴的交点位置，a、b、c决定图像的顶点，顶点坐标是

－，4a2a若二次函数y＝f(x)恒满足f(x＋m)＝f(－x＋n)，则其对称轴为

. 23.根与系数的关系

二次函数f(x)ax2bxc(a0)，当判别式b4ac0时，图像与x轴有两个交点2bxx21a，M1(x1,0),M2(x2,0)，这里x1,x2是方程

f(x)0的两个根。根与系数的关系满足韦达定理cxx12a弦长M1M2x1x2

a4.

根分布问题:

一般地，对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c (a>0)

00bb(1)x1<α,x2<α,则;

(2)x1>α,x2>α,则2a2af()0f()0

0f()0b(3)α

(4)

α＜x1

2af()0f()0f()00

(5）若f(x)=0在区间(α,)内只有一个实根，则有f()f)0或

b2a

5.恒成立问题

不等式ax2＋bx＋c>0在实数集上恒成立ab0a0或

c00ab0a0或

c00不等式ax2＋bx＋c＜0在实数集上恒成立f(x)0在区间【a，b】上恒成立f(x)min0

f(x)0在区间【a，b】上恒成立f(x)max0

6.三个“二次”的关系

（二）幂函数

1．幂函数概念

形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数

122．幂函数的图像(以y＝x，y＝x，y＝x，y＝x，y＝x为例)．

231

3．幂函数的图像和性质

(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都过点

（2）．当α>0时，幂函数y＝xα有下列性质：

①图像都过点(0,0)(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而增大；③在第一象限内，过(1,1)点后，图像向右上方无限伸展

（3）．当α<0时，幂函数y＝xα有下列性质：①图像都通过点(1,1)；②在第一象限内，图像向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近；在第一象限是减函数③在第一象限内，过(1,1)点后，|α|越大，图像下落的速度越快．

（4）．①幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数．②作函数y＝xα的图像时，一般依据上述性质作出第一象限的图像，而后依据函数的奇偶性作出x<0的图像即可．③幂函数的图像无论α取何实数，其必经过第一象限，且一定不不经过第四象限．

【考点讲与练】

求二次函数的解析式

[例1]

已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根立方和等于17.，求f(x)的解析式．

变式练习1

(2012·浏阳模拟)已知二次函数f(x)的图像过A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－8)．

(1)

求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在x∈[0,3]上的最值；

(3)求不等式f(x)≥0的解集．

求二次函数的最值

[例2]

设函数f(x)＝x2－2x－1在区间[t，t＋1]上有最小值g(t)，求g(t)的解析式．

变式练习2

已知函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．

恒成立问题

[例3]

函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的范围；

(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的范围．

10，成立，则a的最小值为(

) 变式练习3

若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈25A．0

B．－2

C．－

D．－3 2根的分布

[例4]

(1)关于x的方程2x2－3x＋2m＝0有且仅有一根在[－1,1]内，求m的取值范围；

(2)

关于x的方程2x2－3x＋2m＝0两实根均在[－1,1]内，求m的取值范围．

变式练习

4

已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围．

二次函数的综合问题 [例5]已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数)．

(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；

(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．

变式练习5

设函数f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R，a为实数)．

(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；

(2)设a>2，求函数f(x)的最小值．

【思想方法感悟】

1．数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路。

2．含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，又例如牵涉二次不等式需讨论根的大小等．

3.对于一般函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x＋2a)＝f(x) 或f(a＋x)＝f(a－x)，那么函数y＝f(x)图像的对称轴方程为：x＝a(a为常数)．

4．对于函数y＝ax2＋bx＋c要认为它是二次函数，就必须认定a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．

幂函数的定义 [例6]

已知f(x)＝(m＋2m)x2m2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数？

(2)反比例函数？

(3)二次函数？.(4)幂函数？

(5)在(4)的条件下，满足在(0，＋∞)上单调递增？

变式练习6

如果幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图像不过原点，则m的取值是(

) A．－1≤m≤2

B．m＝1

C．m＝2

D．m＝1或m＝2 幂函数的图像及其应用 1－2，在幂函数g(x)的图像上．(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)问当[例7]

点(2，2)在幂函数f(x)的图像上，点4x取何值时有：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)

变式练习7

已知幂函数f(x)＝xm的解析式，并画出图像．

幂函数性质的应用 1

[例8]

比较下列各组值的大小：(1) 8和()3

；(2) 4.15，3.85和(1.9)5；(3)0.20.5和0.40.3.

9132－2m－3(m∈Z)的图像与x轴、y轴均无公共点，且关于y轴对称，试确定f(x)1223

2x变式练习8

(文)当0

212

(理)当0

)A．(1a)>(1－a)b

；

B．(1＋a)a>(1＋b)b；C．(1－a)b> (1a)

；

D．(1－a)a>(1－b)b

幂函数的综合应用

[例9]

已知对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1

（2）对于(1)中求得的函数f(x) ，设函数g(x)＝－qf(x)＋(2q－1)x2＋1，问是否存在实数q(q<0)，使得g(x)在区间(－∞，－4]上是减函数，且在(－4,0)上是增函数？若存在，求出q的值；若不存在，说明理由．

2－p＋2p＋31bb22(p∈Z)满足f(x1)

－2m－3变式练习9已知幂函数y＝x<(3－2a)

－

m(m∈N＋)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)

m3

m3

的a的范围．. 随堂练习

1. [2012·武汉模拟]已知二次函数f(x)图象的对称轴是x＝x0，它在区间[a，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，则(

)A. x0≥b

B. x0≤a

C. x0∈(a，b)

D.

x0∉(a，b) 1α2. [2012·蚌埠月考]设α∈{－1，1，，3}，则使函数y＝x的定义域为R且为奇函数的所有α值为(

)A. 1，213

B. －1，1

C. －1，3

D. 1，3，

2

3. 如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为______．

4 [2012·苏州六校联合调研]已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(

) A. －3

B. 1 C. 2

D. 1或2 1α5当α∈{－1，，1，3}时，幂函数y＝x的图象不可能经过第________象限．

2

参考答案

[例1]

f(x)＝－6x2＋12x＋9. 变式练习1（1）f(x)＝2x2－4x－6.；（2）f(x)min＝－8，f(x)max＝0；.（3）{x|x≤－1或x≥3}

t－2

t<0[例2]

g(t)＝－2

0≤t≤1t2－2t－1 t>12

变式练习2

a＝1－2或a＝5＋10 [例3]

（1）6a2；（2）a∈[－7,2]．变式练习3

C

95119[例4]（1）m＝或－≤m<.；（2）≤m≤

.变式练习

4

m的取值范围是(－∞，1]. 1622216111[例5] g(a)＝2a－4a－1，4≤a≤2，.3a－2，a>12－16a－3，a<，4

3.变式练习

5(1) a=0；

(2) a-1

－1±13[例6] (1) m＝1. (2) m＝－1(3) m＝.(4) m＝－1±2.(5) m＝－1－2.

变式练习6 D

2[例7]

(1) f(x)＝x2.g(x)＝x2. (2)①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－1

变式练习7．当m＝－1或3时，解析式为f(x)＝x0(x≠0)，；当m＝1时，解析式为f(x)＝x4，

[例8](1)8－13﹤1355()

；(2)4.1﹥3.8﹥(1.9)5

；(3) 0.20.5<0.40.3. 9122变式练习8（文）[答案] f(x)

[例9]（1）

p＝1

f(x)＝x4. （2）q＝－. 变式练习9

a3230

[随堂练习 ] 1. D 2 .A 3 . 5 4.B

5 .二、四