小结优秀教学设计内容

函数模型及其应用

[考试说明] 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.

2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.

[考点整合] 1.三种函数模型的性质的比较

2.常见的函数模型

函数模型

一次函数模型

二次函数模型

反比例函数模型

函数解析式

函数

y=a(a>1) xy=logax(a>1) y=xn(n>0) 性质

在(0,+∞) 上的增减性

单调

单调

单调

相对平稳

增长速度

越来越快

越来越慢

f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

f(x)=

+b(k,b为常数且k≠0) 指数函数模f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b型

≠0) 对数函数模f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠型

1,b≠0) 幂函数模型

f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)

常用结论

1.函数f(x)=

+

(a>0,b>0,x>0)在区间(0,

]上单调递减,在区间[

,+∞)上单调递增.

2.直线上升、对数缓慢、指数爆炸.

题组一

常识题

1.[教材改编]

函数模型y1=0.25x,y2=log2x+1,y3=1.002x,随着x的增大,增长速度的大小关系是

.(填关于y1,y2,y3的关系式)

2.[教材改编]

在锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园,则其边长x(单位:m)的取值范围是

.

3.[教材改编]

某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为

天,且每件产品每天的仓储费用为1元.把平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S表示为x的函数是

.

4.[教材改编]

已知某物体的温度Q(单位:摄氏度)随时间t(单位:分钟)的变化规律为Q=m·2t+21-t(t≥0,且m>0).若物体的温度总不低于2摄氏度,则m的取值范围是

.

题组二

常错题

◆索引:审题不清致错;忽视限制条件;忽视实际问题中实际量的单位、含义、范围等;分段函数模型的分界把握不到位.

5.一枚炮弹被发射后,其升空高度h与时间t的函数关系式为h=130t-5t2,则该函数的定义域是

.

6.某物体一天中的温度T是关于时间t的函数,且T=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是℃,当t=0时表示中午12:00,其后t值为正,则上午8时该物体的温度是

.

7.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(米/秒)关于燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v=2000·ln

.当燃料质量是火箭质量的

倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.

8.已知A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,则汽车离开A地的距离S(千米)关于时间t(小时)的函数表达式是

.

探究点一

一次、二次函数模型

例1 某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12 000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:若公司参加培训的员工人数不超过30人,则每人的培训费用为850元;若公司参加培训的员工人数多于30人,则给予优惠,每多一人,培训费减少10元,但参加培训的员工人数最多为70.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为x,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元.

(1)写出y与x(x>0,x∈N)之间的函数关系式. (2)当公司参加培训的员工有多少人时,培训机构可获得最大利润?并求出最大利润.

*

[总结反思] 在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围,即函数的定义域,解决函数应用问题时,最后还要还原到实际问题中.

探究点二

指数、对数函数模型

例2 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v m/s,鲑鱼的耗氧量的单位数为x,研究中发现v与log3 (x≥100)成正比,且当x=300时,v=

.

(1)求出v关于x的函数解析式. (2)计算一条鲑鱼的游速是

m/s时耗氧量的单位数.

(3)当鲑鱼的游速增加1 m/s时,其耗氧量是原来的几倍?

[总结反思] 与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型.(1)在两类函数模型中,指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型.(2)在解决这两类函数模型时,一般先要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图像求解最值问题.

探究点三

分段函数模型

例3 某群体的人均通勤时间是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0

而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为 f(x)=

-

40分钟.试根据上述分析结果回答下列问题: (1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间? (2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式,讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.

[总结反思] (1)某些实际问题中的变量关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,所以应建立分段函数模型;(2)构建分段函数时,要力求准确、简捷、合理、不重不漏;(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大值(或最小值).

变式题

某科研小组研究发现:一棵水果树的产量w(单位:百千克)与肥料费用

此外,还需要投入其他成x(单位:百元)满足如下关系式:w=

本(如施肥的人工费等)2x百元.已知这种水果的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克),且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为L(x)(单位:百元).

(1)求L(x)的函数表达式.

(2)当投入的肥料费用为多少时,该棵水果树获得的利润最大?最大利润是多少?