习题3.1课时教学实录

函数与方程

课标要求：1、结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系

2、会判断一元二次方程根的存在性及根的个数

教学目标：

1、理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系

2、掌握零点存在的判定条件．

教学重点：零点的概念及存在性的判定．

教学难点：零点的确定．

教学过程：

一、知识要点

1、函数零点的定义

（1）对于函数

,把使

成立的实数

叫做函数数

的零点. （2）方程数

函数数

的图像与

有交点

函数

有

. 问题1：是否任意函数都有零点？

2、函数零点的判定（零点存在性定理）

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得___________，这个c也就是f(x)＝0的根．

问题2：在上面的条件下，(a，b)内的零点有几个？

零点是不是点？

问题3：如果函数

在区间

上的图像连续不断的一条曲线，并且有

,满足上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？

问题4：如果函数

在区间

上的图像间断的，上述定理成立吗？

问题5：反过来，如果函数

在区间

上的图像是连续不断的一条曲线，函数

在区间 上存在零点，

是否一定成立？

3、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数y＝ax2＋bx＋c

(a＞0)的图象

与x轴的交点

零点个数

______，________

两个

(x1，0)或

(x2，0)

一个

1 无交点

零个

二、课前热身

1.函数f(x)＝x3－x的零点是________．

2.若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c＜0，则其零点个数是________．

3.若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(

) A．0，2

11B．0，

C．0，－

221D．2，－

2

4.设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点个数为(

) A．1

B．2

C．3

5.

设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间(

) A．(－1，0)

B．(0，1)

C．(1，2)

三、典型例题

考点一：函数零点所在区间的判断

典例1：（2018.长沙调研）已知函数

的零点为

，则

所在的区间是（

）

A.

B.

C.

D.

变式训练：设函数

与

的函数图像的交点为（

，

）,若

,则

所在的区间是

考点二：函数零点个数的判断

典例2：已知

,讨论关于

的方程

的实数解的个数.

典例3：已知函数f(x)的周期为2，当

时，

,那么函数 的图像与函数

的图像的交点共有（

）

A.10个

B.9个

C.8个

D.1个

2

D．0 D．(2，3)

变式训练：（2015.湖北）函数

的零点的个数

为

考点三：利用函数的零点确定参数

典例4：已知关于

的二次方程

（1）若方程有两根，其中一根在区间（

）内，另一根在区间（

）内，求

的范围

（2）若方程两根均在区间（

）内，求

的范围

典例5：若函数

在 ，

上存在零点，求实数

的取值范围？

变式训练：已知函数

，若关于

的函数

有8

个不同的零点，则实数b的取值范围（

）

A.（

）

B.

C. ，

D. ，

能力提升：

1、（2018.湖南联考）已知

表示不超过实数

的最大整数，

为取整函数，

是函数

的零点，则

等于（

）

A.1

B.2

C.3

D.4

2、（2018.合肥市质检）已知函数

。方程

有6个不同的实数解，则

的取值范围（

）

A.

B.

C.

D.

3

3、（2017.全国Ⅲ改编）已知函数

有唯一的零点，求

的值。

四、小结与反思

1、全面认识深刻理解函数零点

（1）从“数”的角度看：即是使

的实数

；

（2）从“形”的角度看：即是函数

的图像与

轴交点的横坐标

（3）若函数 的图像在

处与

轴相切，则零点

通常称为不变号零点

（4）若函数 的图像在

处与

轴相交，则零点

通常称为变号零点

2、求函数

的零点的方法

（1）（代数法）求方程

的实数根（常用公式法、因式分解法、直接求解法等）

（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数

的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点

（3）（二分法）

3、有关函数零点的重要结论

（1）若连续不间断的函数

是定义域上的单调函数，则

至多有一个零点

（2）连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号

（3）连续不间断的函数图像通过零点时，函数值符号可能不变

五、作业

练习册31页（除第3题）

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