小结优秀教案范文

§1.3.2函数的奇偶性

教学目标：

知识目标

（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）能利用定义判断简单函数的奇偶性．

能力目标

（1）

通过合作交流，培养学生的观察能力和数形结合能力

（2）

通过讨论，培养学生归纳的能力

态度与价值观

通过问题的研究，培养学生自主学习的热情，体会发现问题到解决问题的快乐

渗透特殊到一般的数学思想方法

教学重点：函数的奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断

函数奇偶性的几何意义．

教学难点：熟练运用定义判断函数的奇偶性

应用奇偶性解决相关问题

教学过程：

一：问题情境

引入课题

1观察下列图片：它们美吗？美在何处呢？

2 让学生画出函数

的函数图象。

f(x)x和

f (x)

x2

（画图让学生巩固对二次函数和分段函数的画法）

3问题：

(1) 分别观察这两个函数图象，它们各自有怎样的图象特征？怎样的代数特征？

合作探究

在（1）图象中，f(1)____ f(-1), f(2)___f(-2),

f(x)_______f(-x) 1

当自变量取一对相反数时，它们的函数值__________.向这样的函数为偶函数。

(2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？

答案：（1）图像都关于y轴对称; （2）自变量x取一对相反数是，相应的两个函数值相同

.

实际上，对于R内任意的一个x ,都有 , 这时我们称函数 f(x)x2f(x)f(x)x2为偶函数.

二：探究新课

1.

偶函数的定义

一般地，如果对于函数f(x)的定义域为A，如果对定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

注意：

图象特征：________________________________________________.(偶函数的图象关于y轴对称.) 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数. 定义域特征：_______________________________________________.(关于原点对称)

1f(x)x和f(x)的图像，让生观察这两个图象，发现两个函数图象的共2. 给出函数 x同特征。 （这里引导学生对知识方法的迁移）

(1) 分别观察这两个函数图象，它们各自有怎样的图象特征？怎样的代数特征？

共同特征：图像都关于y轴对称，且自变量x取一对相反数是，相应的两个函数值也是一对相反数。

3. 奇函数的定义

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：

（1）、由函数的奇偶性定义可知，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

（２）、奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.

三：

应用示例

例1、判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)x4,(2)f(x)x2,x1,1.

15(3)f(x)x,(4)f(x)x

(5)f(x)xx299x22

活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性，先求函数定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(x)f(x)或f(x)f(x).

答案：

(1)

偶函数；

（2）既不是奇函数也不是偶函数

（3）奇函数；

（4）奇函数

（5）既是奇函数又是偶函数

点评：

1 用定义判断函数奇偶性的步骤是

(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；

(2)、再判断f(x)f(x)

或

f(x)f(x)

是否恒成立；

（3）、作出相应结论. 2 函数按是否有奇偶性可分为四类：

奇函数; 偶函数; 既是奇函数又是偶函数; 既不是奇函数又不是偶函数. 3 奇偶函数图象的性质

（1）、奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数. 2、偶函数的图象关于y轴对称.反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.

例2.

已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x22x2，求函数f(x)的解析式，并指出它的单调区间．

分析：奇函数若在原点有定义，则f(0)0．

解：设x0，则x0，f(x)x2x2．

2又f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)f(x)x2x2．

2当x0时，f(0)0．

x22x2,x0x0．

综上，f(x)的解析式为f(x)0,x22x2,x0作出f(x)的图像，可得增区间为(,1]，[1,)，减区间为[1,0)，(0,1]．

点评：（1）求解析式时x0的情况不能漏；

（2）两个单调区间之间一般不用“”连接；

（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“x”实现转化；（4）根据图像写单调区间．

3

例3. 已知定义在[3,3]上的函数yf(x)满足条件：对于任意的x,yR，都有f(xy)f(x)f(y)．当x0时，f(x)0．

（1）求证：函数f(x)是奇函数；

（2）求证：函数f(x)在[3,3]上是减函数；

（3）解不等式f(2x1)f(3x2)0．

分析：赋值法是解决抽象函数有关问题的常用方法．

（1）证明：令xy0，则f(00)f(0)f(0)，得f(0)0．

令yx，则f(x)f(x)f(xx)f(0)0，即f(x)f(x)．故函数f(x)是奇函数．

（2）证明：对于[3,3]上的任意两个值x1，x2，且x1x2，

则f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)，

又x1x2，则x1x20，又当x0时，f(x)0．

f(x1x2)0，

即f(x1)f(x2)．故函数f(x)在[3,3]上是减函数．

（3）解：由（2）知：函数f(x)在R上是减函数．

f(2x1)f(3x2)0，f(2x1)f(3x2)f(3x2)．

32x13,1112x13x2，解得(,)．又所以解集为(,]．

55333x23.点评：本题实质是过原点的一次函数模型，可结合一次函数模型分析，求解．在解决第（3）问时，应注意定义域的范围．

四：反馈练习：

1.教材P35页的思考题（2）（利用函数的奇偶性补全函数的图象）

规律：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．

2.

.判断下列函数的奇偶性：

(12x)22（1）f(x)；

（2）f(x)lg(xx1)；

x2（3）f(x)lgxlg211x；

（4）；

f(x)(1x)x21x2xx(x0),2（5）f(x)xx11；

（6）f(x)2

xx(x0).4

3．已知函数f(x)是定义在(,)上的偶函数．当x(,0)时，f(x)xx4，则当x(0,)时，f(x)____________．

4.

已知函数fxx2a(x0,aR)

x（1）判断函数fx的奇偶性；

（2）若fx在区间2,是增函数，求实数a的取值范围．

五: 课堂小结

1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x, 如果都有f(x)f(x) f(x)为奇函数

如果都有f(x)f(x) f(x)为偶函数

2、两个性质：

一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称

一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称

3、用定义判断函数奇偶性的步骤是

(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；

(2)、再判断f(x)f(x)

或

f(x)f(x)

是否恒成立；

（3）、作出相应结论.

五：作业 数学讲义p25： 1.3.2奇偶性

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板

书

设

计

一．定义

偶函数、奇函数

二．性质

偶函数性质、奇函数性三．例题

四．反馈练习

五．课堂小结

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