小结优质课一等奖

第一章

集合与函数概念

本章复习

学习目标

通过总结和归纳集合与函数的知识,能够使学生综合运用知识解决有关问题,培养学生分析、探究和思考问题的能力,激发学生学习数学的兴趣,逐步培养学生应用数学思想(数形结合、分类计论思想等)解决实际问题的能力. 合作学习

一、提出问题

①第一节是集合,分为几部分?

②第二节是函数及其表示,分为几部分?

③第三节是函数的基本性质,分为几部分?

④画出本章的知识结构图.

二、应用示例

【例1】若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R},则必有(

)

A.P∩Q=⌀

B.P⫋Q C.P=Q D.P⫌Q

【例2】求函数y=x2+1的最小值.

【例3】求函数y=

的最大值和最小值.

【例4】函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=(

)

A.有最小值

B.有最大值

C.是减函数

D.是增函数

三、变式训练

1.设集合M={x|x>1},P={x|x2-6x+9=0},则下列关系中正确的是(

)

A.M=P C.M⫋P B.P⫋M D.M∩P=R

在区间(1,+∞)上一定

2.定义集合A与B的运算A*B={x|x∈A或x∈B,且x∉A∩B},则(A*B)*A等于(

)

A.A∩B C.A B.A∪B D.B

3.求函数f(x)=

-

的单调区间.

四、作业

课本P44复习参考题第5,7题. 参考答案

一、提出问题

①分为:集合的含义与表示、集合间的基本关系和集合的基本运算三部分.

②分为:函数的概念(定义、定义域、值域),函数的表示(列表法、图象法、解析法)两部分;其中又把函数的概念拓展为映射. ③分为:单调性、最值和奇偶性三部分.

④第一章的知识结构图如图所示,

二、应用示例

【例1】解析:从选项来看,本题是判断集合P,Q的关系,其关键是对集合P,Q的意义的理解.集合P是函数y=x2的定义域,则集合P是数集;集合Q是函数y=x2的图象上的点组成的集合,则集合Q是点集.故P∩Q=⌀. 答案:A

点评:判断用描述法表示的集合间关系时,一定要搞清两集合的含义,明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集,形如集合{(x,y)|x,y∈P(x,y),x,y∈R}是点集,数集和点集的交集是空集.

【例2】解:方法一(观察法)∵函数y=x2+1的定义域是R,

∴观察到x2≥0.∴x2+1≥1.∴函数y=x2+1的最小值是1. 方法二:(公式法)函数y=x2+1是二次函数,其定义域是x∈R,则函数y=x2+1的最小值是f(0)=1.

点评:求函数最值的方法:

观察法:当函数的解析式中仅含有x2或|x|或

时,通常利用常见的结论x2≥0,|x|≥0,

≥0等,直接观察写出函数的最值;

公式法:求基本初等函数(正、反比例函数,一次、二次函数)的最值时,应用基本初等函数的最值结论(看成最值公式),直接写出其最值. 【例3】解:(判别式法)由y=

得yx2-3x+4y=0,

∵x∈R,∴关于x的方程yx2-3x+4y=0必有实数根.

当y=0时,则x=0,故y=0是一个函数值;

当y≠0时,则关于x的方程yx2-3x+4y=0是一元二次方程,

则有Δ=(-3)2-4×4y2≥0. ∴0

≤y<0或0

. 综上所得,-

≤y≤

. ∴函数y=

的最小值是-,最大值是.

y=

(d≠0),当函数的定义域是

点评:形如函数R(此时e2-4df<0)时,常用判别式法求最值,其步骤是:①把y看成常数,将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2+nx+k=0;②分类讨论m=0是否符合题意;③当m≠0时,关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R,则此一元二次方

程必有实数根,得n2-4mk≥0,即关于y的不等式,解不等式组

-

此不等式组的解集与

②中y的值取并集得函数的值域,从而得函数的最大值和最小值.

【例4】解析:函数f(x)=x2-2ax+a的对称轴是直线x=a,由于函数f(x)在开区间(-∞,1)上有最小值,所以直线x=a位于区间(-∞,1)内,即a<1.g(x)=间(1,+∞)上的单调性. 设1

-2a)-(x2+

-2a)=(x1-x2)+(

-

)=(x1-x2)(1-

=x+-2a,下面用定义法判断函数

g(x)在区

-

)=(x. 1-x2)

∵11>0. 又∵a<1,∴x1x2>a.∴x1x2-a>0. ∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1)

三、变式训练

1.解析:P={3},∵3>1,∴3∈M.∴P⫋M. 答案:B

2.解析:设A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则A*B={3,4,5,6,7},于是(A*B)*A={1,2,5,6,7}=B. 答案:D

点评:解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质,本题A*B的本质就是集合A与B的并集中除去由它们公共元素组成的集合. 3.解:函数的定义域是(-∞,-1]∪[1,+∞).设y=

,u=x2-1,

当x≥0时,u=x2-1是增函数,y=

是增函数,

∴函数f(x)=

-

在[1,+∞)上是增函数. 当x≤0时,u=x2-1是减函数,y=

是增函数,

∴函数f(x)=

-

在(-∞,-1]上是减函数,

即函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(-∞,-1]. 点评:复合函数是指由若干个函数复合而成的函数,它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系,其单调性的规律为:“同增异减”,即复合函数y=f[g(x)],如果y=f(u),u=g(x)有相同的单调性时,函数y=f[g(x)]为增函数,如果具有相异(即相反)的单调性,则函数y=f[g(x)]为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是:①求复合函数的定义域;②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性;③依据复合函数的单调性规律口诀:“同增异减”,判断或写出函数的单调性或单调区间. 注意:本题如果忽视函数的定义域,会错误地得到单调递增区间是[0,+∞),单调递减区间是(-∞,0].其避免方法是讨论函数的性质时要遵守定义域优先的原则.