小结优秀教案范文

zxxk.com 基本初等函数的综合提高

【考点精讲】

1. 常见的几种函数模型

（1）一次函数模型：y＝ax＋b（a≠0）；

k（2）反比例函数模型：y＝x（k≠0）；

（3）二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；

（4）指数函数模型：y＝N（1＋p）x（x＞0，p≠0）（增长率问题）；

（5）对数函数模型y＝blogax（x＞0，a＞0且a≠1）；

（6）幂函数模型y＝axn＋b（a，b为常数，a≠0）；

a（7）对勾函数型：y＝x＋x（x≠0）；

（8）分段函数型。

2. 三种函数模型性质比较

y＝ax（a＞1）

y＝logax（a＞1）

y＝xn（n＞0）

在（0，＋∞）单调增函数

单调增函数

单调增函数

上的单调性

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

随x值增大，图象随x值增大，图象随n值变化而图象的变化

与y轴接近平行

与x轴接近平行

不同

【典例精析】

例题1

已知函数f（x）＝loga（ax－1）（a>0且a≠1）。

求证：函数f（x）的图象总在y轴的一侧。

思路导航：要证明f（x）的图象总在y轴的一侧，说明f（x）的自变量只能在（0，＋∞）或（－∞，0）内取值。

答案：证明：由ax－1>0，得ax>1，

∴当a>1时，x>0，即函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

此时函数f（x）的图象总在y轴的右侧；

当0

此时函数f（x）的图象总在y轴的左侧。

∴函数f（x）的图象总在y轴的一侧。

例题2

函数y(1)xx2的单调递增区间是（

）

2211A. 

B.

C.

D.,12,1,,2

22思路导航：本题考查复合函数单调性问题，首先求函数的定义域，再根据同增异减原则求单调递增区间。

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zxxk.com 答案：由已知得：xx20即1x2，当1x21时，yx2x2单2调递增，当x2时，yx2x2单调递减。

11y()又∵函数以为底，22x2x2121[的单调递增区间是,2]，选D。

234

例题3

若函数f（x）＝(mx4xm2)＋（x2－mx＋1）0的定义域为R，求实数m的取值范围。

3思路导航：（1）从幂函数的视角看，幂指数为－4。f（x）的定义域为R，转化为mx2＋4x＋m＋2>0恒成立，且x2－mx＋1≠0。（2）mx2＋4x＋m＋2>0恒成立转化为y＝mx2＋4x＋m＋2，图象开口向上，且与x轴无交点。

答案：设g（x）＝mx2＋4x＋m＋2，

①

h（x）＝x2－mx＋1，

②

原题可转化为对一切x∈R有g（x）>0且h（x）≠0恒成立。

2由①得m0,2144m(m2)0m>0m>0，即2⇒

m＋2m－4>0m<－1－5或m>－1＋5，。

∴m>－1＋5。

由②得2＝（－m）2－4<0，即－2

综上可得5－1

【总结提升】

1. 说到数形结合思想，我们更多的会想到以“形”助“数”来解决问题.事实上，有些题是以“数”来说明“形”的问题，同样体现着数形结合的思想。

2. 幂函数y＝xa（a∈R），其中a为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数a为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是幂函数。

3. 复合函数的单调性的判断：

（1）先求解函数的定义域，在定义域内研究函数的单调性；

（2）判断原函数由哪些函数复合而来；

（3）根据基本初等函数的单调性来判断每个函数的单调性；

（4）利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间，即同增异减。

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一、选择题

1. 设集合A＝{a，b}，集合B＝{a＋1，5}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝（

）

A. {1，2}

B. {1，5}

C. {2，5}

D. {1，2，5} 2. 设集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是（

）

3. 三个数7，0.3，ln0.3的大小顺序是（

）

A. 70.3，0.37，ln 0.3

B、70.3，ln 0.3，0.37

C. 0.37，70.3，ln 0.3

D. ln 0.3，70.3，0.37 4. 若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

f（1）＝－2 f（1.5）＝0.625

f（1.25）＝－0.984 f（1.375）＝－0.260 f（1.438）＝0.165 f（1.4065）＝－0.052 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根（精确到0.1）为（

）

A. 1.2

B. 1.3

C. 1.4

D. 1.5

5. 函数y＝ax2＋bx＋3在（－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞）上是减函数，则（

）

A. b>0且a<0

B. b＝2a<0

C. b＝2a>0

D. a、b的符号不确定

6. 某企业近几年的年产值如图所示，则年增长率最高的是（

）（年增长率＝年增长值/年产值）

7[来源:Z+xx+k.Com]0.3

A. 97年

B. 98年

C. 99年

D. 00年

7. 如果二次函数yx2mx(m3)有两个不同的零点，则m的取值范围是（

）

2,6

A.（－2，6）

B. [－2，6]

C. zxxk.com

zxxk.com D.,26,

8. 若函数

f(x)logax(0a1)在区间a,2a上的最大值是最小值的2倍，则a的值为（

）

A. 2

4B. 12

C.

42D. 1

29. 已知奇函数f(x)在x0时的图象如图所示，则不等式xf(x)0的解集为（

）

A. (1,2)

B. (2,1)

C. (2,1)(1,2)

D. (1,1)

10. 设fx3x3x8，用二分法求方程3x3x80在x1,2内近似解的过程中得到f10,f1.50,f1.250,则方程的根落在区间（

）

A.（1，1.25）

B.（1.25，1.5）

C.（1.5，2）

D. 不能确定

二、填空题

11. 函数fx4xlog3x1的定义域是

。

x1

12. 若不等式x2＋ax＋a－2>0的解集为R，则a可取值的集合为__________。

13. 函数y＝x2＋x＋1 的定义域是______，值域为____________。

1x2ax14. 若不等式3>（3

）x＋1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为_________。

2x132 x(,115. f（x）＝1x，则32 x1,f（x）的值域为___________。

116. 函数y＝x

的值域是__________。

2＋1

三、解答题

17. 计算：

（1）2312633 2

7(2)lg142lglg7lg18

318. 已知f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（2）＝1。

（1）求证：f（8）＝3

（2）求不等式f（x）－f（x－2）>3的解集。

19. 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每zxxk.com

zxxk.com 辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

20. 已知函数f（x）＝log12x－log1x＋5，x∈［2，4］，求f（x）的最大值及44最小值。

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1. D

解析：由已知得a12,b2，解得a1，所以答案选D。

2. B

解析：A答案定义域不包括0,2，C答案不符合函数的定义，一个x值对应了2个y值，D答案值域不是0,2，故选B。

3. A

解析：由指数函数的图象可知70.3>1，0<0.37<1，由对数函数的图象可知ln0.3<0。

4. C

解析：由已知f（1.375）＝－0.260，f（1.438）＝0.165可得，零点在1.375和1.438之间，故答案选C。

5. B

解析：由已知得二次函数图象的开口向下，对称轴为-b1，所以答2a案选B。

6. B

7. D

解析：因为方程有两个不相等的实数根，所以m24(m3)0，解得m6或m2。

a8. C

解析：已知当xa时，f(x)取最大值loga

1，当x2a时，f(x)取最小值，2aloga11，解得a。

249. C

解析：由已知可得，当1x2时，f(x)0，

f(x)为奇函数，当2x1时，f(x)0，所以答案选C。

10. B

解析：由二分法以及零点定义可知答案选B。

4-x0,11. 1,1(1,4]

解析：由x10,

解得x1,1(1,4]。

x10,12. 

解析：由已知得0,a24(a2)＝a24a8＝(a2)24恒大于0 ，所以无解。

3313. R

［2，＋∞）

解析：因为x2x1恒大于等于，

43。

定义域为R,值域为，213114. －2

< a < 2

解析：因为3x2ax()x1，即3x2ax3x1，x22axx1

223132215. （－2，－1］

解析：由已知分别画出两段图象，可得值域为（－2，－1］。

x2(12a)x10，(12a)240，解得－

< a <

。

16. （0，1）

解析：由已知得2x0,2x11,0312161311，即值域为（0，1）。

x21111133663263231223236

17. 解：（1）23122221zxxk.com

zxxk.com （2）lg142lglg7lg18lg14lg()2lg7lg18＝lglg187lg＝lg1＝0 7187373147＋lg＝4918918.（1）证明：由题意得f（8）＝f（4×2）＝f（4）＋f（2）＝f（2×2）＋f（2）＝f（2）＋f（2）＋f（2）＝3f（2）

又∵f（2）＝1

∴f（8）＝3 （2）解：不等式化为f（x）>f（x－2）＋3 ∵f（8）＝3

∴f（x）>f（x－2）＋f（8）＝f（8x－16）

∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数

168(x2)0∴，解得2

x8(x2)3600－300019. 解：（1）当每辆车月租金为3600元时，未租出的车辆数为

50＝12，所以这时租出了88辆车。

（2）设每辆车的月租金定为x元，则公司月收益为

x－3000x－3000f（x）＝（100－50

）（x－150）－50

×50 x21整理得：f（x）＝－50

＋162x－21000＝－50

（x－4050）2＋307050 ∴当x＝4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）＝307050 元

20. 解：令t＝log1x

∵x∈［2，4］，t＝log1x在定义域递减有

441log14

∴t∈［－1，－2

］

4441191∴f（t）＝t2－t＋5＝（t－2

）2＋4

，t∈［－1，－2

］

123∴当t＝－2

时，f（x）取得最小值

4

当t＝－1时，f（x）取得最大值7

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