习题2.3优质课教案内容

平面向量的概念及线性运算

一．课标要求

1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．

二．重点难点：

1.重点：向量概念，坐标表示，代数运算及几何意义。

2.难点：向量与实数的区别，向量线性运算的性质及其几何意义，如何实现平面向量与三角函数、立体几何，解析几何之间的转化，其主要手段是向量的坐标运算．

三．知识梳理：

（1）向量的有关概念：①向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小. ②零向量：模为0的向量，记作0，其方向为任意的，所以0与任意向量平行，其性质有：0a=0，0+a=a. ③单位向量：模为1个长度单位的向量，与a方向相同的单位向量为a. |a|④相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作a=b. ⑤相反向量：长度相等且方向相反的两个向量，a的相反向量为-a，有-(-

a)= a. (2)向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义) 运算律

加法

求两个向量和的运算

(1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

减法[来源:学。求a与b的相反向量－b的和科。网Z。的运算叫做a与b的差

X。X。K]

a－b＝a＋(－b) 三角形法则

(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方λ(μa)＝(λμ)a；(λ求实数λ与向量a的积的运数乘

向相同；当λ<0时，λa的方＋μ)a＝λa＋μa；算

向与a的方向相反；当λ＝0λ(a＋b)＝λa＋λb

时，λa＝0 (3) 平面向量基本定理：若a、b是平面内不共线的向量，向量c是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对x,y，使c=xa+yb. b的方向相同或相反，(4) 共线向量：共线向量概念：若两个非零向量a、则称a与b共线，也叫a与b平行，规定零向量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行. ①

共线向量定理：a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b. ②

若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥bx1y2-x2y1=0. (5) 平面向量的基本运算①若a=（x1，y1），b=（x2，y2），

则a±b=（x1±x2，y1±y2），a=（x1，y1），

②若A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=（x2-x1，y2-y1）.[来源:学科网]

四．典例剖析：

题型一 平面向量的有关概念

例1：（1）下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

→→③向量AB与向量CD共线，则A、B、C、D四点共线；

④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．

（2）设、都是非零向量,下列四个条件中,一定能使成立的是（

）

A．

B．

C．

D．

课堂小结：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，aa不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向|a||a|量．

课堂练习1：

给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；

④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4

题型二 平面向量的线性运算

.平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下三个命题角度：

(1)求已知向量的和；(2)用已知向量表示未知向量；(3)求参数的值．

例2

(1) 如图所示，下列结论正确的是(

) 333313①PQ＝a＋b；②PT＝a－b；③PS＝a－b；④PR＝a＋b. 222222A．①②

B．③④

C．①③ D．②④

(2)在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(

) A．矩形 B．平行四边形

C．梯形 D．以上都不对

（3）【宁夏石嘴山市第三中学2017届高三四模】设D为ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则

1111ABAC B. BOABAC 62625151C. BOABAC D. BOABAC

6666A.

BO

(4)已知点G是△ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AMxy11＝xAB，AN＝yAC，则的值为(

)A．3 B. C．2 D.

x＋y32

(5)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的

1234面积的比值为(

)A. B. C. D.

5555

（6）（选讲）P､Q为三角形ABC中不同的两点,若

3PA2PBPC0,3QA4QB5QC0,则S△PAB:S△QAB为(

)

A．1∶2

B．2∶5

C．5∶2

D．2∶1

课堂练习2.

【河北省衡水中学2017届高三高考押题卷三】一直线l与平行四边形ABCD中F，的两边AB，

AD分别交于E、且交其对角线AC于M，若ABA2E，

AD3AF，

5AMABAC,R，则=（ ）

213A.  B. 1 C. D. -3 22

题型三 平面向量的坐标运算

平面向量的坐标运算：

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

2a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y1．

(2)向量坐标的求法：

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

→→③

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．

例4

(1)

(2015高考新课标1文)已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC(4,3)，则向量BC(

)（A）

(7,4)

（B）(7,4)

（C）(1,4)

（D）(1,4)

(2)

已知向量a=3,4，若a5，则实数的值为（ ）

A．11 B．1 C． D．1

55

（3）（2015江苏高考）已知向量a=(2,1)，b=(1,2), 若ma+nb=(9,8)(m,nR), 则mn的值为______.

课堂小结：平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．

课堂练习3：(2015高考北京理)在△ABC中，点M，N满足AM2MC，BNNC．若

；y

．

MNxAByAC，则x

题型四 平面向量共线的坐标表示

平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．

平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度：

(1)利用两向量共线求参数； (2)利用两向量共线的条件求向量坐标；(3)三点共线问题．

例5 (1) 【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b=(1,) ,若a||b,则 .[来源:Z+xx+k.Com

（2）.设向量a(x,1)，b(4,x), 若a,b方向相反, 则实数x的值是（ ）

A．0 B．2 C．2 D．2

1b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，（3）已知向量a＝8，x，则x的值为(

) 2A．4

B．8 C．0 D．2

（4）（2016届吉林省白城一中高三4月月考）已知向量a(2,3),b(1,2)，若manb与a2b共线，则11m（ ）A． B．2 C．- D．2

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课堂小结：

(1)向量共线的两种表示形式

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.

(2)两向量共线的充要条件的作用

判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．

课堂练习4：(1) 已知向量a(1,2)，b(3,x)，c(x,4)，若(ab)//c，则x（ ）[来源:Z.xA.2或4 B.2或4 C.

→→→（2）已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A、B、C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(

) 1A．k＝－2 B．k＝ C．k＝1 D．k＝－1 222 D.

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