复习参考题教学目标设计

高考复习之

二次函数与幂函数

尤溪五中

林雄

1.高考要求

（1）要掌握二次函数的图象和性质，如单调性，对称轴，顶点，二次函数的最值讨论方法，二次方程根的分布的讨论方法，特别是韦达定理的应用

（2）能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值

2.基础知识回顾

b，c是常数，a0）的函数，叫做二次（1）二次函数概念：一般地，形如yax2bxc（a，函数。 c可以为零． 注意：⑴与一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，⑵等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

⑶

a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

（2）二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式．

2yaxbxc（a，b，c为常数，a0）一般式：； 2ya(xh)k（a，h，k为常数，a0）顶点式：；

两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可2以写成两根式，只有抛物线与x轴有交点，即b4ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. （3）二次函数的图形及性质

2b，cyaxbxc（a，对于二次函数是常数，a0）

①当a>０时

图像特点：图像开口向上，且向上无限伸展

b4acb2顶点坐标：顶点为(－2a,4a) b对称性：图像关于直线x=－2a对称

4acb2b最小值：当x=－2a时，y有最小值为4a

4acb2值域：[，+∞）

4abb单调性：x∈(－∞，－2a]时递减，x∈[－2a，＋∞)时递增

②a<０时

图像特点：图像开口向下，且向下无限伸展

b4acb2顶点坐标：顶点为(－2a,4a) b对称性：图像关于直线x=－2a对称

4acb2b最大值：当x=－2a时，y有最小值为4a

4acb2值域：[-∞，）

4abb单调性：x∈(－∞，－2a]时递增，x∈[－2a，＋∞)时递减

（4）知识拓展

a>0，a<0，若f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，则当时

恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.

Δ<0Δ<02

例1：判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 4ac－b2(1)二次函数y＝ax＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是 .(

) 4a2

(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数.(

) (3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.(

) 例2.[P44A组T9]已知函数f(x)＝x＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是 A.a≥3

B.a≤3 C.a＜－3 D.a≤－3

2

例3.已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是

题型分类，深度剖析

（1）求二次函数的解析式

典例 (1)已知二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1， 则它的解析式为__________________. 跟踪训练 (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝____________. (2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为 (－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________. （2）二次函数的图像与性质

命题点1 二次函数的图象 典例

两个二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c与g(x)＝bx2＋ax＋c的图象可能是

命题点2 二次函数的单调性

典例

函数f(x)＝ax＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是 A.[－3,0) B.(－∞，－3] C.[－2,0] 、 D.[－3,0] 引申探究

：

若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________. 命题点3 二次函数的最值

典例

已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值. 引申探究

：

将本例改为：求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值. 命题点4 二次函数中的恒成立问题

典例

(1)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数2m的取值范围是_____________. (2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数 a的取值范围为___________. 思维升华

：

解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解). (3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域. 跟踪训练

(1)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是

(2)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________. (3)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实 数a的取值范围为__________.

二次函数小结

（1）扎实掌握二次函数的基本性质及最大最小值、对称轴、零点的求法

（2）注意定义域

（3）认真领悟二次函数与导数、不等式等知识点的结合，学会灵活变通

课外作业： 1、题型二，引申；题型三，跟踪

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