小结教学创新设计

幂函数性质探究

复旦中学

李波

一.教学目标

（一）了解幂函数定义及结构特征；

（二）通过解析式研究幂函数部分性质；

（三）通过图象特征研究幂函数性质；

y8（四）应用幂函数的性质解题。

二.教学重难点

（一）常见幂函数图象及性质归纳；

（二）幂函数一般性质的归纳；

（三）利用幂函数图象特征，解决部分综合题型。

三．课前预习：

mn7654321–6–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–5–6–7123456x1. 指数幂与根式的互化：anam，am21。

ma31212.在同一坐标系中，作出函数yx,yx,yx,yx,yx的图象。

【设计意图】:用描点法作图，培养学生作图能力，为后阶段快速准确作yx图象打下基础。

3.观察图象填写表格

函数

定义域

值域

图象形状

yx

R

R

直线

yx

R

2yx

R

R

拐线

3yx

+

0，+

0，抛物线

12yx1

R*

R

双曲线

+

0，抛物线

单调性

奇偶性

公共点

增

奇

+，,0

0，偶

增

奇

增

非奇非偶

+，0，,0

奇

1,1

注：1.函数图象位于一象限、一三象限、一二象限，为何没有第四象限？2.象限的不同分布由函数的哪些性质决定？3.以上五种常见幂函数能代表整个幂函数yx【设计意图】:通过常见幂函数图象的认识，深入对幂函数yx四.教学过程

（一）

知识回顾

1.指数函数ya，对数函数ylogaxa0,a1的式子结构特征、图象及性质。

xR吗？

R一般式探究。

2.研究函数的三要素（定义域、值域、对应关系），性质（单调性、奇偶性等）。

（二）新课教学

231.新课引入：我们在数学学习过程中对yx,yx,yx,yx,y11这类函数有过接x触，函数式之间有个共同特点yx,yx,yx,yx,yx，像这样的函数是我们今天所要研究的幂函数。

2.定义：一般地，形如yx，x为自变量，为常数的函数称之为幂函数。

思考：yx,yax的区别？结构特征的联系；

25m3练：若函数ym1x为幂函数，则m______

12312【设计意图】：深入了解幂函数yx的结构特征。

3.yxR性质探究

3.1解析式探究函数性质

例：试判断yxR在0,的单调性。

（定义法：取值-作差-变形-断号）

x1yx证明：0x1x211

y2x2x20x1x20x11，由指数函数性质：

x2x100当1y1y2yx0在0,单增。

x2x当011y1y2yx0在0,无单调性。

x2x1当01y1y2yx0在0,单减。

x2思考：通过yxR解析式，试判断图象在第一象限过哪些定点？

【设计意图】定义法证明幂函数单调性，通过解析式对幂函数图象的局部性质（定点）进行判断，为下一步图象特征的具体研究作铺垫。

3.2 yxR在第一象限的图象探究

由常见的五种幂函数图象可知，yxR的图象、性质（单调性、奇偶性）由值而确定。我们对R的不同取值分类探究，所对应幂函数的图象先研究第一象限，再研究其他象限的图象。

3.2.1探究yxR图象的单调性、定点：

y321–3–2–1O1–1–2–323xyx

单调性

定点

0

0

当0，作出

幂函数yx0的图象。

思考：与y1是否为同一函数？

当0,0,我们用几何画板验证单调性、寻找定点。

3.2.2探究的变化对yx图象变化趋势的影响。

（1）当0，直线

（2）由于yx,yx图象是凹上升，yx是凸上升，因此0分如下三种情况，我们用几何画板模拟0的情形，并对0时变化趋势进行探究：

（i）1，yx直线. （ii）1，以yx2,yx3,yx4,..,yx20图象为例（现场作图后面两个）. 当越大，图象凹升过定点0,0,1,1、变化越陡.即以1,1左边越低，右边越高。

猜想：,图象越靠近那条直线？

当越小，图象凹升过定点0,0,1,1、变化越平缓左边越高，右边越低。猜想：1,2312图象越靠近那条直线？靠近yx；

（iii）01以yx0.2,yx0.5,yx0.02图象为例

当越大，图象凸升过定点0,0,1,1、变化越平缓.即以1,1左边越低，右边越高。

猜想：1,图象越靠近那条直线？yx

当越小，图象凸升过定点0,0,1,1、变化越陡左边越高，左边越高,右边越低。

猜想：0,图象越靠近那条直线？靠近y1；

（3）当0

以yx1,yx2,yx3图象为例

yx

图象形状

图象变化趋势

0

凹降

当越大,左0

射线

01

凸升

当越大,左1

直线

1

凹升

当越大，

边越低,右边边越低,右边线性变化

左边越低，右

越高靠近越高靠近边越高靠近x,y轴; 当越小, 左边越高,右边越低靠近yx; 当越小, 左边越高,右边越低靠近x1；

当越小，左边越高，右边越低靠近x,y轴

3.3幂函数yx奇偶性探究

例：求函数yx四.课堂小结

五.课后作业

23y1

yx；

的定义域、值域、单调性、奇偶性，并作出大致图象。

1.比较大小：（1）2.已知a13.点12233212与；（2）与；（3）与

345533120.50.511342332a，求a的取值范围。

12,2在幂函数fx的图象上，点2,在幂函数gx的图象上. 4（1）求fx,gx的解析式；（2）当x取何值时：fxgx