小结教案板书设计

第三章

函数的应用

数学·必修1(人教A版)

一、零点

1．零点定义：对于函数y＝f(x)，我们把使得方程f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

特别关注：零点不是点，而是实数．

2．函数零点与方程根之间的等价关系：

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

3．函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

特别关注：正确理解函数零点存在性定理．

若函数y＝f(x)图象在[a，b]上是连续的，

A．f(a)·f(b)<0，则y＝f(x)在(a，b)内有零点？

对

B．f(a)·f(b)>0，则y＝f(x)在(a，b)内有零点？

不一定

C．f(a)·f(b)<0，则y＝f(x)在(a，b)内只有一个零点？

不一定

D．y＝f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0? 不一定

得出结论：(1)函数零点的存在性定理，只是判断函数在某区间

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函数的应用

有零点的其中一种方法，不是唯一方法，且不能确定零点的个数有多少．(2)不能由存在性定理的结论反推出条件．

4．判断函数零点个数的求法：

方法一，解对应方程的实根；

方法二，画出函数图象，图象与x轴的交点个数即为函数的零点个数；

方法三，对于超越方程，则可以将超越方程分解为两个基本的初等函数，两个初等函数的交点个数，即为原函数零点的个数．

方法四，若是单调函数，则可以利用函数零点存在性定理，判断出原函数只有一个零点．

二、二分法

1．二分法定义：对于区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

2．利用二分法求近似解的解题步骤：

(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)：

①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

②若f(a)·

f(c)<0，则令b＝

c[此时零点x0∈(a, c)]；

③若f(c)·

f(b)<0，则令a＝

c[此时零点x0∈( c, b)]．

(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．

特别关注：首先要注意判断函数是否可用二分法求零点；其次，用二分法求零点时要根据函数性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少运算量．

三、函数模型及应用

1．几类不同增长的函数模型．

(1)一次函数模型：y＝ax＋b；

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函数的应用

(2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

(3)指数函数模型：y＝ax(a>0，且a≠1)；

(4)对数函数模型：y＝logax(a>0，且a≠1)；

(5)幂函数模型：y＝xα；

(6)分段函数模型．

特别关注：指数增长模型是爆炸性增长模型，其增长速度非常惊人．

2．指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较．

(1)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和

y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，

y＝

ax (a>1)，增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝

xn(n>0)的增长速度，而y＝logax (a>1)的增长速度越来越慢．因此总存在一个x0，当x>x0时，就有logax

(2)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝

ax (0

xn(n<0)都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝logax (0 x0时，就有logax

3．解决应用问题的基本步骤：

(1)实际应用题

→

明确题意，找出题设与结论的数学关系——数量关系和空间位置关系；

(2)在分析联想的基础上，转化为数学问题，抽象构建成一个或几个数学模型来解；

(3)阅读、分析、联想、转化、抽象；

(4)建立数学模型；

(5)运用数学知识作为工具；

(6)解答数学问题；

(7)解决实际问题(作答)．

函数零点的判断

1．函数零点存在性定理：若函数y＝f(x)的零点在区间[a，b]上

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函数的应用

的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．

2．求曲线和x轴的交点的横坐标，就是求函数的零点，即求方程的根．

已知函数f(x)＝3x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数根？为什么？

2－12解析：∵f(－1)＝3－(－1)＝－＜0，

3f(0)＝30－0＝1＞0，函数f(x)＝3x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有实数根．

►跟踪训练

11．设函数y＝x3与y＝2x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(

) A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4)

解析：令g(x)＝x3－22－x，则有g(0)＜0，g(1)＜0，g(2)＞0，g(3)＞0，g(4)＞0.故函数g(x)的零点所在区间为(1,2)．选B. 答案：B

22．已知f(x)＝2＋log3x(1≤x≤9)，判断函数g(x)＝f2(x)＋f(x)有无零点，并说明理由．

解析：∵log3x在区间[1,9]上为增函数，且g(x)＝f2(x)＋f(x2)．

∴1≤x2≤9. ∴1≤x≤3.故g(x)的定义域为[1,3]．

g(x)＝f2(x)＋f(x2) ＝4＋4log3x＋(log3x)2＋2＋log3x2

＝6＋6log3x＋(log3x)2. 在区间[1,3]上，g(x)也为增函数．

所以g(x)＞g(1)＝6，所以g(x)无零点．

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函数的应用

二分法的应用

1．

对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)<0的函数

y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

2．给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤：

(1)确定初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε. a＋b(2)求区间(a，b)的中点x1（将称为区间[a，b]的中点）．

2

(3)计算f(x1)：

①若f(x1)＝0，则x1是函数的零点；

②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1[此时零点x0∈(a，x1)]；

③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1[此时零点x0∈(x1，b)]．

(4)判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)步骤．

用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.1).

解析：由于f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，

∴f(x)在区间[1,1.5]上存在零点，

取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，

用二分法逐次计算列表如下：

端(中)点

中点函数值

零点所

|an－bn| 坐标

符号

在区间

0.5

[1，1.5]

1.25

f(1.25)＜0

0.25 [1.25，1.5]

1.375

f(1.375)＞0

0.125 [1.25，1.375]

1.312 5

f(1.312 5)＜0

[1.312 5，1.375]

0.062 5

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函数的应用

∵|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1，

∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.312 5，1.375]内，故函数零点的近似值为1.3.

►跟踪训练

3．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：

3.0.2

0.6

1.0

1.4

1.8

2.2

2.6

3.4

…

x 0

8.3.482

4.595

6.063

10.556

…

y＝2x

1.149

1.516

2.0

2.639

0

9.y＝x2

0.04

0.36

1.0

1.96

3.24

4.84

6.76

11.56

…

0

那么方程2x＝x2的一个根位于下列区间的(

) A．(0.6,1.0)

B．(1.4,1.8)

C．(1.8,2.2)

D．(2.6,3.0)

解析：由f(0.6)＝1.516－0.36＞0，f(1.0)＝2.0－1.0＞0，故排除A；

由f(1.4)＝2.639－1.96＞0，f(1.8)＝3.482－3.24＞0，故排除B；

由f(1.8)＝3.482－3.24＞0，f(2.2)＝4.595－4.84＜0，故可确定方程2x＝x2的一个根位于下列区间(1.8,2.2)，选C. 答案：C

利用散点图、函数拟合建立函数模型

在没有给出具体模型的问题中，要根据题目中的有关数据描绘出基本草图，然后根据直观性，去和已学过的有关函数图象对照、比较，由此猜测函数模型．在解此类问题的过程中，首先需要在实际的情境中去理解、分析所给的一系列数据，舍弃与解题无关的因素，抽象转化为数学模型．

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函数的应用

某县2005—2010年财政收入情况如下：

年份

2005

2006

2007

2008

2009

2010 收入/万元

25 899

30 504

37 997

48 898

66 800

85 000

(1)请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况；

(2)计算该县财政收入的平均增长率，并结合(1)分别预测2011年该县财政收入，并讨论哪一种预测结果更具有可行性．

解析：(1)利用描点法，过A(1,2.59)，B(2，3.05)，C(3,3.80)，D(4,4.89)，E(5,6.68)，F(6，8.50)画一条光滑的曲线，如下图所示，其中年份第一年为2005年，第二年为2006年，其他依次类推．

通过直观判断函数图象，它可以和前面已学过的两种函数模型进行比较：

模型一：设f(x)＝

ax＋b (a＞0，a≠1 )，

将A、B、C三点的坐标代入，得

f1＝a＋b＝2.59，f2＝a2＋b＝3.05，f3＝a3＋b＝3.80∴f(x)＝

1.35x＋1.25. 计算得f(4)≈4.57，f(5)≈5.73，f(6)≈7.30，它们与实际的误差分别为0.32,0.95,1.20. 模型二：设g(x)＝

ax2＋bx＋c (a≠0，x≥1)，

将A、B、C三点的坐标代入，得

g1＝a＋b＋c＝2.59，g2＝4a＋2b＋c＝3.05，g3＝9a＋3b＋c＝3.80

a≈1.35，

⇒

b≈1.25.

∴g(x)＝

0.145x2＋0.025x＋2.42.

a＝0.145，

⇒b＝0.025，c＝2.42.

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函数的应用

计算得g(4)≈4.84，g(5)≈6. 17，g(6)≈7.79，

它们与实际的误差分别为0.05,0.51,0.71. 对两个函数模型进行对比，发现g(x)与实际的误差较小，

所以用函数模型g(x)＝

0.145x2＋0.025x＋2.42 (x≥1)较好．

(2)设年财政收入平均增长率为a，由2005年和2010年财政收入，则有

2．59(1＋a)5＝

8.5，解得a≈26.83%. 从增长率的角度再建立一个财政收入的数学模型：

h(x)＝

2.59(1＋26.83%)x－1. 用g(x)和h(x)分别预测2011年的财政收入是：

g(7)＝

9.7(亿元)，h(7)＝

10.78(亿元)．

从该县经济发展趋势看，两种预测都有可能，但是选择g(x)模型比较稳妥．

点评：在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型．

►跟踪训练

4．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：

身高/cm

60

70

80

90

100

110 体重/kg

6.13

7.90

9.99

12.15

15.02

17.50

身高/cm

120

130

140

150

160

170 体重/kg

20.92

26.86

31.11

38.85

47.25

55.05

若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？

解析：以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出由离散点构成的草图，如下图所示．

第三章

函数的应用

根据点的分布情况，结合以前学过的指数函数图象特征，可猜测以y

＝

abx(b＞0，b≠1 )为男性的体重与身高关系的函数模型．

把点(70,7.90)、(160,47.25)代入函数以y

＝

abx中，得70ab＝7.90，a≈2，160使用计算器可求得

ab＝47.25.b≈1.02.所以，函数模型为y

＝

2×1.02x.

用计算器验证其他点与模拟函数的关系，发现拟和程度相符．

再将x

＝175代入函数式y

＝

2×1.02x，即y

＝

2×1.02175，用计算器求得y≈63.98. 78因为≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖．

63.98

数学思想方法的应用

数形结合的思想方法是根据数量与图形的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种思想方法．转化与化归的思想方法则是将问题不断转化，直到转化为比较容易解决或已经解决的问题．而分类讨论的核心是通过增强条件来分情况逐一研究，使问题易于解决．

一、数形结合思想

二次函数y＝x2＋(a－3)x＋1的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，且x1＜2，x2＞2，如图所示，则a的取值范围是(

)

第三章

函数的应用

1A．a＜1或a＞5

B．a＜

211C．a＜－或a＞5

D．－＜a＜1 22

1解析：由题意可得f(2)＜0，即4＋(a－3)×2＋1＜0，解得a＜. 2答案：B

►跟踪训练

5．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(其中a＜b)，且α、β是方程f(x)＝0的两根(α＜β)，则实数a、b、α、β的大小关系为(

) A．α＜a＜b＜β

B．α＜a＜β＜b

C．a＜α＜b＜β

D．a＜α＜β＜b

解析：a，b是方程g(x)＝(x－a)(x－b)＝0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象(如下图所示)，知α＜a＜b＜β.选A. 答案：A

6．函数f(x)＝x2－4|x|＋5－m恰有三个零点，则实数m的取值集合为________．

第三章

函数的应用

解析：函数f(x)＝x2－4|x|＋5－m恰有三个零点，等价于函数

y1＝x2－4|x|＋5与y2＝m的图象恰有三个公共点(如下图)．知m＝5. 答案：{5}

二、函数与方程思想

一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米

/ 秒2的加速度匀加速开走，那么(

) A．人可在7米内追上汽车

B．人可在10米内追上汽车

C．人追不上汽车，其距离最近为5米

D．人追不上汽车，其距离最近为7米

12解析：若经t秒人刚好追上汽车，则s＋25＝6 t，由s＝

t，得

212t－6t＋25＝0⇒t2－12t＋50＝0. 2因为Δ＜0，所以人追不上汽车．

考虑距离差

121s＋25d＝()－6t＝2t－6t＋25＝2(t－6)2＋7，

故当t

＝

6时，d

有最小值7 , 即人与汽车最少相距7米，

故选D. 答案：D

►跟踪训练

7．函数f(x)＝a|x|－x－a恰有两个零点，则实数a的取值范围是：________.

第三章

函数的应用

解析：函数f(x)＝a|x|－x－a恰有两个零点等价于函数y＝a|x|与y＝x＋a的图象恰有两个公共点．画出y＝a|x|与y＝x＋a的图象如下：

a>0，情形1：

⇒a>1. a>1a<0，情形2：

⇒a<－1. a<－1

答案：{

a|a>1或a<－1}

8．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是

μ＝μ0e－λt，其中μ0、λ是正常数．经检测，当t＝2时，μ＝0.09μ0，则当稳定系数降为0.50μ0时，该种汽车的使用年数为_____年(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)．

解析：

由0.90μ0＝μ0(e－λ)2，得e－λ＝0.90，

1－λt于是0.50μ0＝μ0(e)⇒＝(0.90)t，

2－2lg 2－0.602 01t两边取常用对数，lg＝lg 0.90，解得t＝＝＝222lg 3－1－0.045 813.1. 答案：13

第三章

函数的应用

三、分类讨论思想

如下图，三个机器人M1，M2，M3和检测台M位于一条直线上．三个机器人需把各自生产的零件送交M处进行检测，送检程序规定：当M1把零件送达M处时，M2即刻自动出发送检，当M2把零件送达M处时，M3即刻自动出发送检．设M2的送检速度为v，且送检速度是M1的2倍、M3的3倍．

(1)求三台机器人M1，M2，M3把各自生产的零件送达检测台M处的时间总和；

(2)现要求M1，M2，M3送检时间总和必须最短，请你设计出检测台M在该直线上的位置(M与M1，M2，M3均不能重合)．

解析：借助数轴构建分段函数模型使抽象问题具体化．

(1)由题设条件知，检测台M的位置坐标为0，机器人与检测台的距离分别为2,1,3. 故机器人M1，M2，M3按程序把各自的生产零件送达检测台M21314处的时间总和为y＝＋v＋＝v. 11vv23

(2)设x为检测台M的位置坐标，则机器人M1，M2，M3与检测台M的距离分别为|x－(－2)|，|x－1|和|x－3|，于是机器人送交检测台M的时间的总和为

|x－－2||x－1||x－3|y＝＋v＋

11vv231＝v(2|x＋2|＋|x－1|＋3|x－3|)．只要求

f(x)＝2|x＋2|＋|x－1|＋3|x－3|取最小值．

－2x＋14－2≤x<1，∵f(x)＝121≤x≤3，6x－6x>3.所对应的f(x)均取最小值12，

－6x＋6x<－2，

由其图象可知，x∈[1,3]时，

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函数的应用

12即送检时间总和最短为v. 依题意，检测台M与M1，M2，M3均不能重合，故可将检测台M设置在直线上机器人M2与M3之间的任何位置(不含M2、M3的位置)，都能使各机器人M1，M2，M3的送检时间总和最短．

►跟踪训练

9．若函数f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点，求实数m的取值范围．

解析：(1)当m＝0时，f(x)＝－2x＋3与x轴只有一个交点，此时函数f(x)只有一个零点．

(2)当m≠0时，要使得f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点，则Δ12＝(－2)－4×3×m＝0，此时m＝. 31综上所述，当m＝0或m＝时，函数f(x)＝mx2－2x＋3只有一3个零点．

建立函数模型的方法

一、关系分析法

即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法．

进货价为80元的商品共400个，按90元一个售出时，可全部卖出．已知这种商品每涨价1元，其销售数量就减少20个，问销售价为多少时所获得的利润最大？

分析：题中显示“利润最大”的语句，因此，应从构造利润的函数关系入手．(利润＝销售额－成本) 解析：设销售价为90＋x元时利润为y，此时销售数量为400－20x.

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函数的应用

∴y＝(90＋x)(400－20x)－(400－20x)×80 ＝－20(x－5)2＋4 500，

∴当x＝5时，ymax＝4 500(元)．

答：销售价为95元时所获得的利润最大，其最大值为4 500元．

►跟踪训练

10．某公司生产一种产品每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t(单位：12百件)时，销售所得的收入约为5t－t (万元)．

2(1)若该公司这种产品的年产量为x(单位：百件，x>0)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为当年产量x的函数；

(2)当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？

二、列表分析法

即通过列表的方式探求问题的数学模型的方法．

►例题分析

某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台．现销售给A地10台，B地8台．已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元．

(1)设从乙地调运x台至A地，求总运费y关于x的函数关系式．

(2)若总运费不超过9 000元，共有几种调运方案？

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函数的应用

(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费．

分析：本题数量关系较多，利用列表法将数量关系明朗化，有利于函数关系的确立．由甲、乙两地调运至A地、B地的机器台数及运费如下表所示：

调出地

甲地

乙地

调至地

A地

B地

A地

B地

台数

10－x 12－(10－x)

x 6－x

每台运

400

800

300

500 费/元

运费合

300x 400(10－x)

800[12－(10－x)]

500(6－x) 计/元

解析：(1)依题意，得：y＝400(10－x)＋800[12－(10－x)]＋300x＋500(6－x)，

即y＝200(x＋43)(0≤x≤6，x∈Z)．

(2)由y≤9 000，解得x≤2. ∵x∈Z,0≤x≤6，

∴x＝0,1,2.故，共有三种调运方案．

(3)由一次函数的单调性可知，当x＝0时，总运费最低，ymin＝8 600(元)．

即从乙地调6台给B地，甲地调10台给A地、调2台给B地的调运方案的运费最低，最低运费为8 600元．

►跟踪训练

11．某厂为了尽快解决职工住房困难问题，鼓励个人购房和积累建房基金，决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房公积金，办法如下：

每月工资

公积金

1 000元以下

不交纳

1 000元至2 000 元

交纳超过1 000元部分5% 1 000元至2 000元部分交纳5%，超过2 000元部分2 000元至3 000元

交纳10% 1 000元至2 000元部分交纳5%，2 000至3 000部3 000元以上

分10%,3 000元以上部分交纳15%

第三章

函数的应用

设职工每月工资为x元，交纳公积金后实得数为y元，求y与x之间的关系式．