习题2.1国家优质课一等奖

指数函数（一）

教学目标：

知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用. 能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类

讨论的思想以及从特殊到一般的数学讨论的方法

，增强识图用图的能力. 情感目标:通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐

的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质. 教学重点：指数函数的图象、性质及其简单运用. 教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图象与底的关系.

教学方法：探究式教学法. 教学手段：采用多媒体辅助教学.

教学过程：

一、创设情景，引出课题

前面我们学习过函数的概念、函数的有关性质及指数的运算，今天我们将在此基础上学习一类新的基本函数.

问题1：我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对“非典”应该并不陌生，它与其它的传染病一样，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖方式有很多种，分裂就是其中的一种。我们来看一种球菌的分裂过程：

动画演示：某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------.一

个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与x的关系式是：y2x.

问题2：某种机器设备每年按6%的折旧率折旧，设机器的原来价值为1，经过x年后，机器的价值为原来的y倍，则y与x的关系为y0.94x. 思考：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？

共同点：变量x与y构成函数关系式，是指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数；

不同点：底数的取值不同. 大家能给这样的函数起个名字吗？（想让学生对数学的形式化有一认识）

（指数函数）

这就是我们今天所要研究的一个新的基本函数——指数函数.（引出课题）

二、探索研究

(一)指数函数的概念： 函数yax(a0,且a1)叫做指数函数.其中x是自变量.函数的定义域为R. 在以前我们学过的函数中，一次函数用形如ykxb(k0)的形式表示，反比例函数用形如yk(k0)的形式表示，二次函数用yax2bxc(a0)x的形式表示．这些函数对其一般形式上的系数都有相应的限制．给定一个函数要注意它的实际意义与研究价值.

思考：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？

若a0，当x0时，ax恒等于0，没有研究价值；当x0时，ax无意义；

1若a0,例如当a2,x

时，2无意义，没有研究价值；

2若a1，则1x1,ax是一个常量，也没有研究的必要.

很好，所以有规定a0且a1（对指数函数有一初步的认识）.

（二）对数函数的图象与性质：

学习函数的一个很重要的目标就是应用，那么首先要对函数作一研究，研究函数的图象及性质，然后利用其图象和性质去解决数学问题和实际问题.

思考1：你能类比前面讨论函数性质的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、图象、单调性、奇偶性. 思考2：如何来画指数函数的图象呢? 画函数图象通常采用：列表、描点、连线．有时，也可以利用函数的有关性质画图. 1思考3：画出指数函数y2x、y()x的图象并观察图象有什么特征？

2函数y2x的图象位于x轴的上方，向左无限接近x轴，向上无限延伸, 从左向右看，图象是上升的,与y轴交于(0,1)点. 1函数y()x的图象位于x轴的上方，向右无限接近x轴，向上无限延2伸，从左向右看，图象是下降的，与y轴交于(0,1)点.

1x的图象有什么关系?能否由y2x的图象得到思考4：函数y2x与y()21y()x的图象？

2关于y轴对称.所以可以先画其中一个函数的图象，利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有用. 思考5：选取底数a的若干个不同的值，在同一平面坐标系内作出相应的指数函数的图象．观察图象，你能发现他们有哪些共同特征？

教师演示课件，以不同的底，作出函数的图象，描绘出其几何特征，将函数的图象和性质对应起来．利用几何画板，通过改变a的值，让学生观察图象的变化规律．

思考6：通过你们画的图象以及老师的演示，你们能发现怎样的规律呢？

底数分a1和0a1两种情况．

很好，那么，你们能否归纳总结一下它们的性质吗？

引导学生观察函数y2x的图象特征，并总结函数y2x的性质．

思考7：从特殊到一般，指数函数yax(a1)有哪些性质？并类比得出yax

(0a1)的性质．

师生共同归纳：

指数函数yax(a0且a1)的图象与性质：

a1

0a1

图

象

性

（1）定义域：(,)

（2）值域：

(0,)

质

（3）过定点(0,1)，即当x0时，y1

（4）在(,)上是增函数

（4）在(,)上是减函数

强调：利用函数图象研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想它的图象，记住性质的关键在于要脑中有图．

三、应用举例：

数学源于生活，还要服务于生活．学习函数的一个重要目标是应用．指数函数是生产生活中常见的一类函数，指数函数一直是科学工作者，特别是工程技术人员必备的工具．这节课我们先来了解一下它的简单应用．

利用单调性比较大小．

例1.

比较下列各组数中各个值的大小：

（1）1.72.5

，1.73 ； （2） 0.80.1，0.80.2；

（3）1a3,1a2(a0,且a1)

； （4） 1.70.3，0.93.1，1．

分析：对于这样两个数比大小，学生可能会觉得困难，提示学生观察两个数的形式特征（底数相同，指数不同），联想指数函数，提出构造函数法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用函数的单调性比较大小．

说明：

1. 当底数相同且明确底数a与1的大小关系时：直接用函数的单调性来解．

2．当底数相同但不明确底数a与1的大小关系时：

要分情况讨论．

3．当底数不同不能直接比较时：可借助中间数，间接比较上述两个数的大小．

四、反馈练习：

比较下列各组数中两个值的大小：

1（）3.10.5，3.12.3；20.320.24（2）（）,（）；

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（3）2.30.5，0.20.1.

五、归纳小结，强化思想: 本小节的目的要求是掌握指数函数的概念、图象和性质．在理解指数函数的定义的基础上，掌握指数函数的图象和性质是本小节的重点．

1．数学知识点：指数函数的概念、图象和性质．

2．研究函数的一般步骤：定义→图象→性质→应用.

3．数学思想方法：数形结合，分类讨论的数学思想.

六、布置作业：

作业：教材P59习题2.1第5、6、7、8．

思考：1．函数yax21(a0,且a1)的图象必经过点___________．

12．解不等式：()x11．

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