3.4.2 函数模型及其应用教案设计

3.4.2

函数模型及其应用

无锡市第一中学

邹

秋

教学目标：

1．能根据实际问题的情境建立恰当的数学模型，情境包括图形、表格或者数据拟合等，利用计算工具，结合对函数性质的研究，给出问题的解答；并利用所得函数模型解释有关现象或对有关发展趋势进行预测；

2．通过实例，理解指数函数、幂函数等常见函数在解决一些简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；了解数据拟合的方法，进一步体会函数模型的广泛应用；

3．在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.

教学重点：

一次函数、二次函数以及指数函数、幂函数等常见函数的应用．

在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中，读懂图表并求解. 了解数据的拟合，感悟函数的应用.

教学难点：

从生活实例中抽象出数学模型. 对图、表的理解. 通过数据拟合建立恰当函数模型.

教学方法：

讲授法，尝试法.

教学过程：

例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(单位：万元)、单位成本P(单位：万元)、销售收入R(单位：万元)以及利润L(单

位：万元)关于总产量x （单位：台）的函数关系式．

解：

总成本与总产量的关系为

单位成本与总产量的关系为

销售收入与总产量的关系为

利润与总产量的关系为

点评：总成本随总产量的增加而增加，单位成本随总产量的增加而减少，销售收入随总产量的增加而增加，利润随总产量的增加而增加，利润有一个临界值，至少要一千台以上才有利润。

例2

物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温

－

＝

－

度为

，经过一定时间t后的温度是T ，则

其中

表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用

热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20min，那么降到35℃时，需要多长时间

(结果精确到0.1)? 解：

由题意知，

即

（

）

,解之，得h=10, 故

当T=35时，代入上式，得

即（

）

两边取对数，用计算器求得

因此，约需要25.4min, 可降温到 。

点评：本题引入了牛顿冷却规律，解答需要理解题意，如果进一步，还可以得出冷却规律公式，这是一个类似指数函数的公式。

例3

在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝f(x+1)－f(x)，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台（

）的收入函数为 ＝ －

（单位：元），其成本函数为C(x)＝500x＋4000（单位：元），

利润是收入与成本之差．

（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；

（2）利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否有相同的最大值？

注：边际函数是经济学中的一个基本概念。

解：

由题意，知

且

(1)

(2)

当

或

时，P（x）的最大值为74120（元）。

因为

是减函数，所以当x=1时，MP(x)的最大值为2440（元）。

因此，利润函数P（x）与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值。

例3中边际利润函数MP(x)当x=1时取最大值，说明生产第二台与生产第一台的总利润最大，即第二台报警系统利润最大。

是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比在减少。

例1和例3都是实际问题中遇到的简单的一次，二次函数，同时定义域范围是正整数。通过上述3个例子，我们可以看出，解决实际问题通常按照

实际问题

建立数学模型

得到数学结果

解决实际问题

的程序进行，其中建立数学模型是关键。

作业：练习P100

1-4

介绍数据拟合的基础相关知识

数据拟合

现实世界中的事物都是相互联系、相互影响的，反映事物变化的变量之间就存在着一定的关系。这些关系的发现，通常是通过试验或实验测定得到一批数据，在经过分析出来得到的。

数据拟合就是研究变量之间的这种关系，并给出近似的数学表达式得一种方法。根据拟合模型，我们还可以对某变量进行预测或控制，。解决数据拟合问题首先应作出数据的散点图，然后通过观察散点趋势选用相应的模型进行拟合，为使散点图更清晰，可将数据适当简化。

例4 估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据。从人口统计年鉴中可查得我国1949-1999年人口数据资料如表3-4-2所示，试估计我国2004年的人口数。

表3-4-2

1949—1999年我国人口数据表

年份

人口数/百万

1949 1954 542 603 1959 672 1964 705 1969 807 1974 909 1979 975 1984 1035 1989 1107 1994 1177 1999 1246 解：

为简化数据，先将年份减去1949，再将数据数据输入Excel工作表进行处理。可知拟合模型为

0510152025303540455054260367270580790997510351107117712461400120010008006004002000010203040506005101520253035404550542603672705807909975103511071177124614001200100080060040020000102030405060y = 14.453x + 527.59R² = 0.9957当x=55(即2004年)时，

（亿）

上面方程表示的直线也称为回归直线，显示的

值越接近1，其拟合效果越好。在输入年份时，可用“趋势填充”快速输入。

“添加趋势线”是Excel进行数据拟合的一个有力工具，它提供了线性、对数、多项式、乘幂、指数、移动平均等6种数学模型，可供择优选用，为我们分析整理各种数据、建立合理的数学模型，从而作出科学的预测创造了有利的条件。

例5 表3-4-3是某种车的车速与刹车后的停车距离，试建立两者之间的关系，并求当车速为120km/h时的刹车距离。

表3-4-3 车速（km/h）

10 停车距离/m 4 15 7 30 12 40 18 50 25 60 34 70 43 80 54 90 66 100 80

解：在Excel工作表中输入数据，作出散点图，发现散点呈递增趋势，分别添加指数、乘幂、二次多项式等3种趋势线，如果，根据显示的

值，选择最大的一个。因此采用二次函数模型，即车速x与停车距离y之间的关系为

1041201573012401810080604020050256034704380541008060402009066100801008060y = 4.3066e0.0315xR² = 0.9635y = 0.1933x1.274R² = 0.9828y = 0.0064x2+ 0.1256x + 2.7374R² = 0.999740200050100150050100150050100150当x=120时，

例6 表3-4-4给出了八大行星与冥王星离太阳的距离和它们运行的周期，试建立这两组数据之间的关系。

表3-4-4

距离/

周期/d 水星

57.9 88 金星

地球

火星

木星

778.3 4329 土星

1427 10753 天王星

海王星

2870 30660 4497 60150 冥王星

5907 90670 108.2 149.6 227.9 225 365 687 解：

在Excel工作表中输入上述数据，作出散点图后观察散点趋势，尝试用指数、乘幂、二次多项式拟合，发现乘幂的

值为1，故采用幂函数模型效果最好。发现，运行周期T与距离d满足关系

d57.9108.2149.6227.9778.31427287044975907

.

T8822536568743291075330660601509067010000080000600004000020000002000400060008000y = 0.1999x1.4997R² = 1

这就是开普勒第三定律的数学表达式，它揭示了“公转时间的平方与平均距离的立方成正比”这一天体运动规律。

利用数据拟合解决问题，

首先应作出数据的离散点，然后通过观察散点趋势选用适当的模型进行拟合。

从例4到例6属于课本的链接部分，可以根据学生的具体情况选用，笔者的建议是有条件，就带学生去电脑教室实际操作一下，学生熟悉office软件操作。数据拟合广泛应用于实践操作。比较遗憾的是普通计算器的功能尚不够强大，操作也没有EXCEL方便。通过这些函数模型的拟合，学生还可以根据平时观察到的生活中的实际数据，进行常用函数模型的实践探索，这对提高学生的应用能力有一定的帮助。