习题1.2教学目标设计

第一章

函数

1.2.1

函数及其表示

一、核心要点

1）函数的概念：设集合A是非空的实数集，对于A中的任意实数x，按照确定的对应法则f，都有唯一确定的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作yf(x),xA.

※※※备注：函数的三要素：定义域、对应法则、值域

2）同一函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全相同，则称两个函数是同一函数。

例题巩固：

1、已知函数f(x)x2x. ①函数的定义域为 ；②f(1) ；f(4) . ③当a0时，f(a) ；f(a1) .

练：已知函数f(x),g(x)分别由下表给出

x123x123f(x)131 g(x)321

则f[g(1)]的值为 ；满足f[g(x)]g[f(x)]的x的值是 ；

练：已知g(x)12x，f[g(x)]1x2x2(x0)，则f(0)等于 ；

练：函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)1f(x)，若f(1)5，则f(f(5)) ；

2、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A．y1,yxx

B．yx1x1,yx21

C．yx,y3x3

D．y|x|,y(x)2

3、（1）若函数f(x)x1,(x0)f(x2),(x0)，则f(2) x2(x1)（2）已知函数f(x)x2(1x2)，

①求f()= ；（2）若f(a)3，求a= 2x(x2)

专题一：定义域的求法

求解定义域问题的规则：①分母不为0；②偶次被开方数0；③对数式中真数大于0；④不能出现00

例1、

求下列函数的定义域：

①yx3；②yx；③f(x)12x3x1；④f(x1x2x1)x2(x3)0；

⑤f(x)x2x2；⑥ylg(x1)；⑦ylog2x1x1(x3x2)；⑧y2x1

解：

抽象函数定义域的求法

例1、已知函数f(x)的定义域为[1，2]，求函数f(2x1)的定义域；（备注：整体求部分）

例2、已知函数f(2x1)的定义域为[1，2]，求函数f(x)的定义域。（备注：部分求整体）

专题二：函数解析式的求法

求解函数解析式的主要方法有：①待定系数法；②配凑法；③换元法；④方程组法；⑤赋值法。

方法一：待定系数法：已知函数类型用待定系数法

例1、已知f(x)是一次函数，若f(f(x))4x1，求f(x)

解：

方法二：配凑法：当表达式比较简单时，可直接用配凑法求解

例2、已知函数f(x)满足f(x1x)x21x2，则f(x)的表达式为

方法三：换元法：当已知表达式为f[g(x)]时，常用换元法求解f(x)

例3、已知f(x1)x2x，求f(x)函数的解析式

解：

方法四：方程组法：求抽象函数的解析式，通常采用方程组法和赋值法

例4：已知函数f(x)满足：f(x)2f(1x)3x(x0)，求函数f(x)的解析式

专题三：函数值域的求法

求解函数值域的主要方法有：①数形结合法；②配方法；③单调性法；④分离常数法；⑤换元法；⑥判别式法；⑦反表示法；⑧

方法一：配方法：二次函数求值域问题用配方法

例1、求二次函数．．．．y2x28x9(2x2)的值域．

方法二：分离常数法：对于形如yaxbcxd等齐次分式型的函数：结论yac

例2、求函数y8x14x3的值域．

方法三：换元法：对于形如yaxbcxd的求值域问题，可通过换元法将原问题转化为二次函数求值域问题。

例：求函数yx12x的值域．

方法四：反解有界性

函数y2x例：求2x1的值域．

1.2.2

函数的基本性质

一、

核心要点

1）增函数的判断：

x(x1x2)1x2与f(x1)f(x2)同号，即(x1x2)[f(x1)f(x2)]0或f(x0

1)f(x2)减函数的判断：xxf(xf(x(x1x2)12与f(x1)2)异号，即(x1x2)(f(x1)2))0或f(xf(x0

1)2)2）函数单调性证明步骤：取值作差定号判断

3）判断函数奇偶性的步骤：求定义域求f(x)看关系下结论

①

f(x)f(x)函数f(x)为偶函数；②f(x)f(x)函数f(x)为奇函数

备注：①偶函数图像关于y轴轴对称，奇函数图像关于原点中心对称；

②※※※若奇函数yf(x)在x0处有定义，则定有f(0)0；

二、例题巩固 例1、（1）证明函数yx3在R上是增函数。（备注：立方差公式：a3b3(ab)(a2abb2)）

（2）证明函数f(x)x在[0,)上是减函数。

例2、（1）已知函数f(x)(1a2)x2在(,)上为减函数，则a的取值范围为 （2）若函数f(x)x2ax2011在(,2)上单调递减，在(2,)上单调递增，则a （3）若函数f(x)x22(a1)x2在区间(,4)上为减函数，求a的取值范围？

练习：已知函数f(x)ax2(13a)xa在区间[1,)上递增，求a的取值范围？

例3、（1）已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)xx2，求函数f(x)的解析式

（2）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，且

f(x)g(x)1x2x3，则g(x)的解析式为（

）

A．1x2

B．22x2

C．x21

D．2x22

例4、定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1,x2(,0](x1x2)，有(x1x2)[f(x1)f(x2)]0，则当nN*时，有（ ）

A.

f(n)f(n1)f(n1)

B.

f(n1)f(n)f(n1)

C.

f(n1)f(n)f(n1)

D.

f(n1)f(n1)f(n)

练：已知偶函数f(x)在区间上[0,)单调递增，则满足f(2x1)f(13)的取值范围是为 练：已知定义域为R的函数f(x)在区间(8,)上的减函数，且函数yf(x8)为偶函数，则（ ）

A．f(6)f(7)

B．f(6)f(9)

C．f(7)f(9)

D．f(7)f(10)

引申：抽象函数的性质研究：赋值法

例1、已知函数f(x)在R上有定义，且对任意x,yR都有f(xy)f(x)f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性

练：定义在实数集上的函数f(x)，对任意x,yR都有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0)0，试判断函数f(x)的奇偶性

例2、定义在R上的函数yf(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a,bR，有f(ab)

f(a)f(b)

（1）求证：f(0)1；（2）求证，对任意的xR，恒有f(x)0；

（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)f(2xx2)1，求x的取值范围

练：已知函数f(x)对任意x,yR，满足f(y)f(xy)2，当x0时，f(x)2.求证f(x)在R上是增函数。

知识扩展：周期性

若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)f(xT)恒成立，则f(x)叫做周期函数，其中T叫做这个函数的一个周期。

常用结论：若函数f(x)满足f(xa)f(x)或f(xa)1f(x)或f(xa)1f(x)时，则2a为函数f(x)的一个周期。

例：已知定义R在上的函数f(x)，满足f(1)115，且对任意的x都f(x3)f(x)，则f(2014)