信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆教学内容分析

圆锥曲线的统一定义

背景意图：用几何画板动态的给学生演示圆锥曲线在统一定义下轨迹的形成过程，体会离心率e的值对图像的影响。

制作说明：利用圆锥曲线的统一定义，求出平面内到一定点和一定直线的距离之比为定值的点的轨迹。

首先确定平面内一定点O和一定直线k，过点O作一条直线l，构造直线l上一点P，以O为圆心，OP长为半径r作圆O，过点P作直线k的垂线m交直线k于点T；作射线n，以射线上两条线断的长度之比给定离心率e的值，拖动射线上点e可改变e的值，根据定义到定点O的距离r和定直线k的距离d之比为定值e,即r/d=e,一旦e和r确定，d就被确定了，计算d的值d=r/e,以T为圆心d为半径长做圆T，交垂线m于点U，过点U做定直线k的平行线交圆O于两点V、W，点V和W即为满足条件的点，到定点O和定直线的距离分别为r和d,且r与d的比值为定值e,使动点P在直线上运动改变r和d,但比值不会变，追踪V和W的轨迹即可得图像。拖动点e,使比值e小于1，等于1，大于1，分别对应椭圆、抛物线、双曲线的图像。

备教详案：

《圆锥曲线统一定义》预案

师: 前面我们学习了三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线，其中椭圆的离心率e小于1，双曲线的离心率e大于1，那抛物线有没有离心率呢？离心率e到底是怎么来的？有什么几何意义呢？今天

我们就来搞清楚这个离心率为何物。首先请大家从椭圆的推导过程中找找看哪里可以构造出离心率e=c/a？

生：椭圆标准方程的推导过程中有一步

cx：

a

(

x



2



y

2

a2c)(xc)2y2c可以变形为

a2axc

.

师：很好，这个等式的右边就是我们要探究的离心率，谁能告诉我这个等式的左边是什么意思？有什么几何意义？分子、分母分别是什么？

生：分子是点（x,y）与点（c,0）之间的距离。

师：大家回答得不错，那分母是不是也可以看成是距离呢？什么距离只用到横坐标呢？

生：点到竖直直线的距离。

师：所以分母的几何意义是？

a2xc的距离。

生：点（x,y）到直线

师：非常好，这样等式左边就表示点（x,y）到点（c,0）和直线a2xc的距离之比了。而这个方程又是椭圆的方程，点（x,y）就是椭圆上的点了，由此我们知道了椭圆的离心率e的几何意义，它表示椭a2xc的距离的比值。到一点和一直线的圆上的点到点（c,0）和直线距离，大家之前有没有接触过类似的概念？

生：有，抛物线的定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线

l（F 不在

l上）的距离之比等于1 的动点

P 的轨迹是抛物

线．

师：大家记得很清楚，这是抛物线的定义，现在椭圆也满足类似的条件，能否也用距离之比定义椭圆呢？

生：可以，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线

l（F 不在

l上）的距离之比等于e的动点

P 的轨迹是椭圆．

师：很好，描述很准确，但是这个离心率e的取值可以是任意的吗？当e取1的时候是椭圆吗？

生：不是，e大于0小于1，当e=1时是抛物线。

师：非常棒，这样我们就得到了椭圆的另一种定义，我们把它叫做椭圆的第二定义。大家肯定会有疑虑，之前我们用两个钉子固定一条绳子画出来的图像确实是椭圆，现在我们能否把这个轨迹画出来验证一下是不是椭圆呢？这里我们可以借助几何画板给大家演示一下，证明满足这个条件的点的轨迹确实是椭圆。而且我们还可以得到抛物线的离心率为1。那双曲线是不是也可以类似的定义呢？

生：可以。

a2xc 师：大家能否验证一下？点P（x,y）到点（c,0）和直线c的距离之比a〉1时点P的轨迹是否为双曲线？

生：根据题意可得

化简得

(xc)2y2c变形为a2axc

(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)

222cab令即可得

x2y21a2b2

师：这样我们就用同一种形式定义了椭圆、双曲线、抛物线，我们把它叫做圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F和到一条定直线l（F不在l上）的距离的比等于常数e的点的轨迹． 当0＜e＜1时，它表示椭圆； 当e＞1时，它表示双曲线； 当e＝1时，它表示抛物线．（我们用一个动态的动画给大家演示

一下，看离心率e小于1，等于1，大于1时是否分别对应椭圆、抛物线、双曲线） 其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线．椭圆和双曲线有两个焦点，两条准线，分别叫左、右焦点，左、右准线。

请大家完成表格：

标准方程

x2y2

1a2b2(ab0)图形

焦点坐标

准线方程

y2x21a2b2(ab0)

2

xy2212ab(a0,b0)

2

2yx1a2b2(a0,b0)

练习1:求下列曲线的焦点坐标和准线方程

(1)

x

2



2

y

2



4

(2)2

x

2



4

y

2



1

(3)

x

2



2

y

2



1

(4)2

y

2

2



4

(5)

x

2



y



0

(6)

y

2



2

x





x0

x2y21上一点P到左焦点的距离为14，求P点到右准

例2、已知双曲线 6436

线的距离.

x2y2变式、已知双曲线





1

上一点P到右准线距离为10, 求P点到左焦点的

6436

距离.