3.2.1 对数课堂实录【1】

课题：3.2.1对数

授课教师：无锡市第一中学

夏明

一、教学目标：

1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；

2．会熟练进行指数式与对数式的互化，体会转化与化归的思想；

3．了解常用对数和自然对数，了解对数的历史，培养学生的数学学习兴趣．

二、教学重点、难点

重点：对数的概念、指数式与对数式的互化．

难点：对数概念的理解．

三、教学方法与手段

采用引导发现、师生共同探究、讲练结合的教学方法，利用多媒体设备辅助教学．

四、教学过程

（一）问题情境：

问题一：同学们，我们先来玩一个折纸游戏．假设有一张非常大的厚度为0.1mm的纸，我们把它对折一下，这时两层纸叠在一起，厚度变为0.2mm；再对折一下，厚度变为0.4mm，那么

（1）折4次以后，纸的总厚度是多少？

生：1.6mm （2）折多少次后，纸的总厚度达到6.4mm？

生：6次

师：如何算的？生：0.12x6.4即2x64，推算x6．

问题二：某种最初质量为1的放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%．

（1）请说出这种物质的剩留量y关于时间x（年）的函数关系式．

生：y0.84x，x0

（2）经过多少年，这种物质的剩留量是原来的一半？

生：0.84x0.5

师：那么这里的x?，如何算呢？这是已知一个指数式中底数和幂值要求指数的问题，它是一种新的运算，今天我们就一起来研究这个问题．

这个x是否存在呢？从指数函数y0.84x的图像和直线y0.5相交的情况可知，这个x是唯一存在的．好，接下来我们如何来表示这个x ?首先肯定会用到0.84和0.5这两个数字，然后我们要给它一个新的符号，就像当我们已知2+3=5，要根据这个式子表示3的时候，3=5-2，出现了新的符号，就是减号；当我们知道3*7=21，要通过这个式子表示7的时候，7=21÷3，就有了新的符号，除号一样．今天我们就要学习这个新符号——log，用这个符号表示的数就叫做对数．世界上第一个发明使用对数的人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier，1550~1617)．他在研究天文学的过程中，为了简化计算就发明了对数．

（二）知识建构

1．定义：一般地，如果aa0,a1的b次幂等于N，即abN，那么就称b是以a为底N的对数（logarithm），记作logaNb，其中a叫做对数的底数（base of logarithm），N叫做真数（proper number）．

2．概念解读

（1）在指数式与对数式中，a，b，N的名称分别是什么？

指数

真数

abNlogaNb

底数

（2）底数要求：a0,a1

真数要求：N0（负数和零没有对数）

（3）对数符号的正确书写（四线三格）及读法

幂

底数

对数

logaN是一个整体，底数a为下标，真数N正常书写．读作：以a为底N的对数．

问题二第2小题的解答就可以写成xlog0.840.5．读作x等于以0.84为底0.5的对数．

我们今天引入的对数式logaNb，其含义就是abN．指数式和对数式两者之间可以互化．

（三）数学运用

例1

将下列指数式写成对数式：

1（1）3-3

271（2）0.45

2（3）2b22

例2 将下列对数式写成指数式：

（1）log132

3a（2）log10a1.699

（3）logyy2x

例3

求下列各式的值：

（1）log264

根据学生情况而定，可由2664转化，也可以设x

（2）log927

设x

练习：求下列各式的值（下面请同学们把课本翻到P74练习5（1）~（4））

（1）log464

（2）log77

（3）log21

（4）log19

83在对数中，经常会出现两个特殊的数字作为底数：

常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，对数log10N就简记为lgN．例如：log105简记为lg5

，log103.5简记为lg3.5.

自然对数：在科学技术中我们常常会用到无理数e2.71828，就像在有关圆的问题中我们要用到无理数一样．以e为底的对数叫做自然对数，为了简便，自然对数logeN就简记为lnN.如：loge2就记为ln2．

探究1：

（1）log21

，log51

，lg1

（2）log33

，log121

，lne

213（3）log55

，log88

，logaa5

，logaab

一般地：若aa0,a1则有：loga10，logaa1，logaabb

回到例3：

（1）log264log2266

（2）log927log93log99探究2：

将abN中的N代入logaNb即得到logaabb，其实质就是代入消元思想．你能否通过这种方法得到新的结论？

alogaNN

如：3log32727，5log522，10lg33

今天我们认知了对数，知道了对数运算．以后我们会更加熟悉对数，那时它就会像加减乘除等运算一样，成为我们的好朋友，在我们今后的学习生活中起着重要的作用．其实，对数的实质就是——指数，它们互为逆运算．我们后面还会学习对数运算的一些新技巧．但有朝一日当我们遇到一个对数问题，找不到思路无法解决的时候，请不要忘了可以根据定义将对数转化为指数，再来解决它．好，本节课我们主要讲了：

（四）课堂总结

1．对数的定义

2．指数式与对数式的互化

3．求一些简单的对数

33223

2

4．对数中几个有用的结论

伽利略曾经说过，“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙．”

（五）作业

P79习题3.2（1）

1，2，3（1）~（4），8

（根据时间而定）最后给大家留一个思考题：在我们一开始的折纸游戏中，折多少次后纸的总厚度能达到10cm，你能用对数知识解决这个问题吗？在实际操作中你能办到吗？

（六）板书设计

对数

1. 定义abNlogaNb

2. a0，a1

N0

3. 书写：logaN

读作以a为底N的对数

例3.（1）

（2）

另解

教学设计说明

对数是学生在高中阶段接触的一种新的运算，它是由已知底数和幂的值要求指数引发的新运算。本节课开始以一个生活实例来简单回顾指数运算，第（2）问已有求对数的意味，但以2的幂为基础，学生比较熟悉，能够很快推算出答案，不用对数也能解决。接着问题二采用课本例子，在第（2）问中，无法推算出指数位置上的x，从而引发本节课的主题，引进新的运算。在给出对数的定义之后，重点强调指数式和对数式的互化，其字母本身并没有变化，变化的只是字母在不同式子中的位置，指数和对数是互通的。简单处理了a和N的范围问题，因为对数式中的a和指数式的a是相同的，N>0突出了负数和零没有对数。对于对数的写法及读法，是学生初学时较难接受和掌握好的，所以在回到问题二的第（2）问时，让学生来读一读这个对数，在后面的例题时让学生在黑板上写一写，以加深对对数的认知。后面设计了两个探究问题。探究1中的前两个结论比较简单，旨在为第3个结论作一下铺垫，同时前两个结论也可以作为结论3的一个特例看待，所以将这三个结论放在一起，并且用结论再次研究了例3。探究2主要通过代入消元的方法来得到新的结论，同时也是对对数定义理解的一次升华。在过程中还提了一下对数的发明者，一方面是充分利用教材中的阅读材料，在教学中渗透数学史的思想，使学生能够从多个不同的角度来感受对数；另一方面也使课堂多一些人文情怀，激发学生学习兴趣，培养学生对数学的热爱之情。