幂的乘方教学设计及说课稿

第课时

学习幂的乘方的运算性质,进一步体会幂的运算的意义,并能解决实际问题.

经历探索幂的乘方运算性质的过程,发展推理能力和有条理的表达能力,提高解决问题的能力.

培养学习数学的兴趣,建立学习数学的信心,感受数学的内在美.

【重点】

幂的乘方性质的推导及幂的乘方的应用.

【难点】

幂的乘方性质的逆运用.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P5~6.

导入一:

1.填空.

(1)(23)2=23×23=2(

);

);

(2)(72)3=72×(

)×(

)=7(

(3)(a3)2=a3×(

)=a(

).

[过渡语]

同学们仔细观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,想一想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?

2.情境引入.

【课件展示】

地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和

102倍,它们的体积分别约是地球的多少倍?提示:球的体积公式是V=πr3,其中V是球的体积,r是球的半径

[处理方式]

让学生思考后,自己得出结论.

生:木星的体积是地球的103倍;太阳的体积为地球的(102)3倍.

师:那么你知道(102)3等于多少吗?102是幂的形式,因此我们把这样的运算叫做幂的乘方.这节课我们就来研究幂的第二个运算性质——幂的乘方.

[设计意图]

从地球、木星、太阳的半径关系入手,有效地激发了学生的学习兴趣,唤起了他们的求知欲望,从而顺利导入新课.

导入二:

[过渡语]

现有一个正方体,如果知道它的棱长是10,你可以求出它的体积吗?

生:可以,是103,也就是1000.

师:这个问题大家解决得很好,如果这个正方体的棱长为102,你可以求出它的体积吗?

生:可以,是106.

师:一个正方形的边长为103,你可以求出它的面积吗?

生:也是106.

师:为什么是这个结果呢?

(学生思考2分钟,进行展示)

生:(102)3=(100)3=100×100×100=106.

(103)2=(1000)2=1000×1000=106.

师:这两个式子分别表示什么意义?它也是一种运算,也就是我们这节课要学习的幂的乘方.(板书课题)

[设计意图]

通过复习知识,直接点出本节课的主题,激发学生的学习兴趣,引导学生体验把实际问题抽象成数学问题的一般方法,为新授内容做准备.

[过渡语]

上节课我们学习的是同底数幂的乘法,当幂的底数又是一个幂的形式的时候,我们该如何计算呢?本节课我们一起来研究这个问题.

探究活动1

探索幂的乘方的运算性质

思路一

1.你知道(102)3等于多少吗?

学生展示计算过程:

(102)3

=102×102×102①

=102+2+2②

=106

=102×3.

【思考】

推出第①步和第②步的根据是什么呢?

点拨:第①步利用了乘方的含义,(102)3表示3个102相乘;第②步利用了同底数幂的乘法:底数不变,指数相加.

【思考】

观察上面的运算过程,底数和指数发生了怎样的变化?

点拨:结果的指数刚好是原式中两个指数的积,而运算前后底数没变.

2.做一做:计算下列各式,并说明理由.

(1)(62)4;

(2)(a2)3;

(3)(am)2;

(4)(am)n.

[处理方式]

通过观察不难发现,上面的4个小题都是幂的乘方的运算,下面我们就请四位同学到黑板上板演,其余的同学观察他们做的有无错误.

【师生活动】

展示解答过程:

(1)(62)4=62·62·62·62=62+2+2+2=68.

(2)(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6.

(3)(am)2=am·am=am+m=

.

个

个

(4)(am)n=

=

=amn.

【知识归纳】

由上面的“做一做”我们可推出幂的乘方的运算性质,即:(am)n=amn(m,n都是正整数).

用语言表述为:幂的乘方,底数不变,指数相乘.

[设计意图]

由幂的意义和同底数幂的乘法得出幂的乘方的运算法则,知识自然生成,学生很容易接受.

思路二

回答下列问题:

(1)64的底数是

,指数是

,它表示

个

相乘.

(2)(62)4的底数是

,指数是

,它表示

个

相乘.

则.

(3)(a2)3的底数是

,指数是

,它表示

个

相乘.

[处理方式]

学生先独立思考,然后小组内共同探究结果,并归纳总结得到结论,从而得到幂的乘方的法教师引导归纳:

(62)4=

×

×

×

=

=

.

(a2)3=

×

×

=

=

.

(am)2=

×

=

=

.

(am)n=

×

×…×

=

=

,

即(am)n=

(m,n都是正整数).

【思考】

通过上面的探索活动,你发现了什么?

幂的乘方,底数

,指数

.

用字母表示:(am)n=amn(m,n都是正整数).

[知识拓展]

[(am)n]p=amnp(m,n,p都是正整数).

[设计意图]

通过三个问题由浅入深,由特殊到一般,由猜测到探索、再到理解法则的实际意义,从而从本质上认识、学习幂的乘方的性质,并运用自己的语言进行描述,教师再引导学生归纳总结幂的乘方的法则,充分利用课堂中的一切机会,调动学生探究问题的积极性,发展学生的语言表达能力.

探究活动2

幂的乘方性质的应用

(教材例1)计算.

[过渡语]

在具体问题中怎样运用幂的乘方的运算性质呢?下面通过例题看看同学们有什么高见.

(1)(102)3;

(2)(b5)5;

(3)(an)3;

(4)- (x2)m;

(5)(y2)3·y;

(6)2(a2)6- (a3)4.

[处理方式]

请几个同学口答(1)~(3)题,并课件展示解题过程:

(1)(102)3=102×3=106.

(2)(b5)5=b5×5=b25.

(3)(an)3=a3n.

教师点拨(4)~(6)题:

(4)- (x2)m表示(x2)m的相反数,所以- (x2)m=-

.

(5)(y2)3·y中既含有乘方运算,也含有乘法运算,按运算顺序,应先算乘方,再算乘法,所以(y2)3·y=y2×3·y=y6·y=y6+1=y7.

(6)2(a2)6- (a3)4按运算顺序应先算乘方,后算减法,所以2(a2)6- (a3)4=2a2×6- a3×4=2a12- a12=a12.

[设计意图]

例题的设计用来教会学生如何运用幂的乘方法则,同时进一步体会幂的乘方的意义,巩固幂的乘方法则.

探究活动3

幂的乘方法则的延伸

1.判断下面计算是否正确,如有错误请改正.

(1)(x3)3=x6;

(2)a6·a4=a24.

2.计算.

(1)(103)3;

(2)- [(a- b)2]5;

(3)(x3)4·x2.

[处理方式]

第1题:独立解答,汇报交流.

(1)(x3)3=x6不正确,(x3)3表示三个x3相乘,即x3·x3·x3=x3+3+3=x3×3=x9;或直接根据幂的乘方的运算性质:底数不变,指数相乘,得(x3)3=x3×3=x9.

(2)a6·a4=a24不正确.a6·a4=(a·a·a·a·a·a)·(a·a·a·a)=a10;或根据同底数幂乘法的运算性质:底数不变,指数相加,得a6·a4=a6+4=a10.

【温馨提示】

注意幂的乘方与同底数幂的乘法运算的异同.

第2题:先让3名学生板演,然后课件展示(规范板书):

解:(1)(103)3=1

=109.

(2)- [(a- b)2]5=- (a- b)2×5=- (a- b)10.

(3)(x3)4·x2=x3×4·x2=x12·x2=

=x14.

【温馨提示】

幂的底数和指数不仅仅可以是单独的字母或数字,也可以是某个单项式或多项式.

[设计意图]

学生在练习中体会幂的乘方的意义,巩固幂的乘方运算性质.发现问题及时查缺补漏.

[知识拓展]

逆用幂的乘方法则amn=(am)n,可以将幂的底数进行转化,从而可化为同底数幂的乘法来计算,也可以用来比较两个幂的大小.例如:由2·8n·16n=222可得2·23n·24n=222,即21+3n+4n=222,从而得到n=3.在比较340与430的大小的时候,也可以将两个幂化为同底数或同指数来进行比较.

1.幂的乘方的运算性质.

(am)n=amn(m,n都是正整数).

幂的乘方,底数不变,指数相乘.

2.在具体应用幂的乘方的运算性质时应注意以下几点:

(1)幂的底数和指数不仅仅可以是单独字母或数字,也可以是某个单项式或多项式.

(2)正确区分幂的乘方与同底数幂的乘法的异同.

运算法则

运算名称

运算形式

底数

指数

同底数幂

am·an=am+n

不变

相加

的乘法

幂的乘方

(am)n=amn

不变

相乘

mnpmnpmnp(3)多重乘方可以重复运用上述幂的乘方法则:[(a)]=(a)=a(m,n,p都是正整数).

(4)幂的乘方公式还可逆用,即amn=(am)n=(an)m(m,n都是正整数).

1.填空.

(1)(y2)2n=

;

(2)若9m=316,则m=

;

(3)若3×27×9=3x,则x=

.

答案:(1)y4n

(2)8

(3)6 2.计算.

(1)(- 1)5·[(- 3)2]2;

(2)(x2)4·x;

(3)(x2)3+[(- x)3]2.

解:(1)(- 1)5·[(- 3)2]2=(- 1)·81=- 81.

(2)(x2)4·x=x8·x=x9.

(3)(x2)3+[(- x)3]2=x6+x6=2x6.

3.已知am=3,an=2,求a2m+3n的值.

解:a2m+3n=a2m·a3n=(am)2·(an)3=32×23=72.

探究活动1

探索幂的乘方的运算性质

探究活动2

幂的乘方性质的应用

例题

探究活动3

幂的乘方法则的延伸

第1课时

一、教材作业

【必做题】

教材第6页习题1.2知识技能第1,2题.

【选做题】

教材第6页习题1.2数学理解第3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.若m,n均为正整数,则(am)n=

,即幂的乘方,底数

,指数

.

2.计算.

(1)(75)4=

;

(2)75×74=

;

(3)(x5)2=

;

(4)x5·x2=

;

(5)[(- 7)4]5=

;

(6)[(- 7)5]4=

.

3.你能说明下面每一步计算的理由吗?将它们填在括号里.

(1)y·(y2)3

=y·y6(

)

=y7(

).

(2)2(a2)6- (a3)4

=2a12- a12(

)

=a12(

).

【能力提升】

4.已知3x=2,求3x+2的值.

5.计算.

(1)(- x4)5+(- x5)4;

(2)(- am+1)3·(a2)1+m;

(3)3(x3)2·(x2)4- (x5)2·(x2)2.

【拓展探究】

6.已知10a=5,10b=6.求:

(1)102a+103b的值;

(2)102a+3b的值.

7.比较2100与375的大小.

【答案与解析】

1.amn

不变

相乘

2.(1)720

(2)79

(3)x10

(4)x7

(5)720

(6)720

3.(1)幂的乘方法则

同底数幂的乘法法则

(2)幂的乘方法则

合并同类项

4.解:3x+2=3x·32=2×9=18.

5.解:(1)(- x4)5+(- x5)4=0.

(2)(- am+1)3·(a2)1+m=- a5m+5.

(3)3(x3)2·(x2)4- (x5)2·(x2)2=2x14.

6.解:(1)102a+103b=(10a)2+(10b)3=52+63=241.

(2)102a+3b=102a·103b=(10a)2·(10b)3=52×63=5400.

7.解:2100=(24)25,375=(33)25,而24<33,故2100<375.

学生自主完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,从猜测到探索到理解法则的实际意义,从而从本质上认识、学习幂的乘方的来历.鼓励学生自己发现幂的乘方的性质特点(如底数、指数发生了怎样的变化)并运用自己的语言进行描述,然后再让学生回顾这一性质的得来过程,进一步体会幂的意义.由实际问题引入幂的乘方的运算,体会幂的乘方运算的必要性.

在探究幂的乘方法则的逆运用时,给学生讨论与思考的时间较少,从练习中可以看出部分学生接受的不是很好,以后在遇到难点问题时要争取当堂问题当堂清.

把幂的乘方的性质应用于计算,培养学生使用一般原理进行演绎推理的能力,教学中应予以重视.

随堂练习(教材第6页)

解:(1)109.

(2)- a10.

(3)x14.

习题1.2(教材第6页)

知识技能

1.解:(1)

.

(2)a8.

(3)- b10.

(4)y4n.

(5)b3n.

(6)x9n.

2.解:(1)- p5.

(2)a12.

(3)t2m+1.

(4)0.

数学理解

3.解:(1)错误,应改为(x3)3=x9.

(2)错误,应改为a6·a4=a10.

幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质是不一样的,在学习中要正确区分幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质:幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变);同底数幂的乘法是转化为指数的加法运算(底数不变).

在教学中,教师要注意引导学生对幂的乘方一般规律的探索和表达,在利用具体数进行实验论证上多花点时间,让学生习惯于对具体数的操作,教师可以通过提出“你发现的规律对任意一个数都成立吗?”等问题加以引导,并重视同伴之间的相互启发,在运算过程中,体会幂的乘方.因此,教师在教学中应提供丰富有趣的问题,鼓励学生通过独立思考与讨论发现关系,给学生留下充分的空间去探索和交流,使学生经历从具体问题中抽象规律、用符号进行表示的过程.

(2015·长春中考)计算(a2)3的结果是

(

)

A.3a2 B.a5

C.a6

D.a3

〔解析〕

本题考查幂的乘方的计算,根据幂的乘方法则可得(a2)3=a2×3=a6.故选C.