探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系教学设计与反思

互为反函数的两个函数图像之间的

关系及应用

教学目标 1.使学生了解互为反函数的函数图象间的关系

2.通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索、猜想、论证的思维习惯。

教学重点 互为反函数的函数图象间的关系。

教学方法 学生自主、合作、探究

教学过程 一、预习提问

1.叙述反函数的定义：

一般地，函数yf(x) (xA)中,设它的值域为C,我们根据这个函数中x,y的关系, 用y把x表示出来得到x(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x(y)在A中都有唯一的x值和它对应，那么x(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数，这样的函数x(y) (yC)叫做函数yf(x) (xA)的反函数，记作xf1(y) (yC)

字母x、y互换，得yf1(x) (xC) 2、求反函数有哪些基本步骤？

求反函数的基本步骤：

⑴.由yf(x)出发，用y表示x,解出xf1(y)

⑵.将x，y互换得到yf1(x)

⑶.指出反函数的定义域（即原函数的值域). 归纳为：反解、互换、写出定义域 3、点P(a,b)关于直线y=x对称的对称点P′的坐标为（b, a）（即横坐标与纵坐标对换位置）

4、函数y2x23 (xR)有没有反函数？为什么？如何改写定义域才能使其有反函数？

解：函数y2x23 (xR)没有反函数； 因为它不是由一一映射构成的函数； 当把定义域改写为[0,+∞)或(-∞,0]时它才有反函数. 二、讲授新课

首先我们来研究互为反函数的函数图像间的关系

例1、求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并且画出原来的函数和它的反函数的图象。

解：y3x2

(xR)

xf1(y)y2x2 y3x2

的反函数为

y

(xR)33问题：互的两个象之间某种对为反函数函数的图是否具有称关系? 回答：它们的两个函数图象是以直线y=x为对称轴的对称图

形。

给出定理：

函数yf(x)的图象与它的反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称。

注：1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的，并未经过严格证明，为不增加难度，现在不作证明。

2）这个结论是在同一坐标系下，且横轴（x轴）与纵轴（y轴）长度单位一致的情况下得出的。

3）函数yf(x)与函数yf1(x)互为反函数，图像关于直线yx对称；

函数yf(x)与函数xf1(y)是同一函数，图像相同。

函数yf1(x)与函数xf1(y)互为反函数，图像关于直线yx对称。

4）如果两个函数的图象关于yx对称，那么这两个函数互为反函数；

例2、求函数yx3

(xR)的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图象.

解：yx3

x3y yx3的反函数是

y3x（

xR）注：当已知函数yf(x)的图象时，作出它关于直线y=x对称的图象，就是反函数yf1(x)的图象。

练习1、画出函数yx2

(x[0,))的图象，再利用对称性画出它的反函数的图象.

然后我们利用互为反函数的函数图像间的关系来解决相应问题。

例3、若点P（1，2）在函数

y函数的图象上，求a，b的值。

axb图象上，又在它的反解：由题意知，P（1，2）在函数yaxb的反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线y=x对称的性质知，2ab点P（1）也在函数yaxb的图象上。因此，得

12，12ab解得a=-3,b=7。

例4、求证：函数y证明：yx (x1)的图象关于直线x1y=x对称. xyxx(x1) x y(x1)

的反函数为

y(x1)

(它本身)x1y1x1x1x 函数y(x1)

的图象关于直线

yx

对称.x1注：如果一个函数的反函数就是它本身，那么这个函数的图象关于y = x 对称；反之，如果一个函数的图象关于y = x 对称，那么这个函数的反函数就是它本身。

例5、已知函数f(x)3x11(xa,a) xa3

1）求f(x)的反函数；

2）若这个函数图象关于yx对称，求a值。

解：

(1)f(x)3x11ay1ax x(y3) f1(x)(x3)xay3x3

1ax3x1 (2) 由题知图像关于yx对称，f1(x)f(x)，即a-3.x3xa练习2、如果yf(x)的图象过点（1，2），那么yf1(x)1的图象过点__________ 解：由yf(x)的图象过点（1，2），知yf1(x)的图像过点（2，1），而yf1(x)1的图像是由yf1(x)的图像向下平移1个单位得到的，故yf1(x)1的图象过点（2,0) 练习3、如果一次函数y=ax+2与y=3x-b的图象关于直线y=x对称，求a,b的值

解：据题意，y=ax+2与y=3x-b互为反函数，

y3xb的反函数为：yf1(x)xbxb1, ax2 a,b6.

333练习4、已知函数f(x)axb的图像经过点（1，3），且它的反函数f1(x)的图像过点（2，0），求f(x).

解：∵f(x)的图像过点（1，3）∴a+b=3 ①

由f(x)的反函数f1(x)的图像过点（2，0），可知

f(x)的图像过点（0，2）∴1+b=2 ②

由②得b=1,将b=1xf(x)21

代入①中得a=2。练习5、已知函数f(x)x52xm的图象关于直线y=x对称，求m。

x5mx5 得反函数为 y,2xm2x1 x5mx5 由 ，令 x0 得 m1.2xm2x15解法二：令x0, 则（0，

-）在

f(x)的图像上，由已知

f(x)

的反函数是它自身，m55 （-，0）在

f(x)

的图像上，--50

, m1mm解法一：由 f(x)三、课堂小结

1、函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y = f －1 ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称。

2、函数y=f(x)与函数y=f -1(x)互为反函数，图像关于直线y = x对称；函数y=f(x)与函数x=f -1(y)为互为反函数，图像相同。函数y=f -1(x)与函数x=f -1(y)是同一函数，图像关于直线y=x对称

3、利用对称性画出已知图象的函数的反函数的图象

4、如果两个函数的图象关于y = x 对称，那么这两个函数互为反函数；

5、如果一个函数的反函数是它本身，那么这个函数的图象关于y = x 对称；反之，如果一个函数的图象关于y = x 对称，那么这个函数的反函数是它本身。

板书设计 互为反函数的两个函数图像之间的

关系及应用

一、预习提问

二、讲授新课 三、课堂小结 教学后记