习题1.2教学设计及课堂实录

章末复习提升课

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集合间的关系及运算

集合的交、并、补运算与集合间的关系是高考考查的热点，具体数集的运算一般利用数轴；抽象集合运算常借助韦恩图，解含参数的问题，一般要对参数进行讨论．

(1)已知集合A＝{x|x2≤4，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则A∩B＝(

) A．(0，2)

B．[0，2] C．{0，1，2}

D．{0，2} (2)(2016·郑州高一检测)已知集合M＝{x|－1

) A．(2，＋∞)

B．[2，＋∞) C．(－∞，2)

D．[－1，＋∞) [解析]

(1)根据已知，得A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤16，x∈Z}，所以A∩B＝{0，1，2}，故选C.

(2)依题意，由M⊆N得a≥2，即所求的实数a的取值范围是[2，＋∞)．

[答案]

(1)C

(2)B

(1)集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手，这是求解集合运算问题的前提．

(2)利用不等式表示的集合的问题，常用数轴的直观图来解，特别要注意不等式边界值的取舍，含参数时要注意对集合空集的讨论.

函数的基本概念

函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值集合，在函数解析式中，要保证二次根式的被开方数不小于零，分式的分母不等于零等．函数的值域是函数值的集合，重视二次函数、函数单调性及图象的作用．

2

(1)函数y＝的定义域为(

) 1－1－xA．(－∞，1)

B．(－∞，0)∪(0，1] C．(－∞，0)∪(0，1)

D．[1，＋∞) x＋1，x≥0，(2)已知f(x)＝若f(a)＝2，则实数a＝________．

4x，x＜01－x≥0，[解析]

(1)要使函数有意义，则

1－1－x≠0，即x≤1且x≠0.

(2)因为当a≥0时，f(a)＝a＋1＝2，所以a＝1.

1所以当a＜0时，f(a)＝4a＝2，所以a＝(舍去)．

2[答案]

(1)B

(2)1

(1)求函数的定义域，要注意函数表达式中自变量的取值范围，特别是函数由几部分式子构成时，函数定义域是使各部分式子有意义的实数x的集合．

(2)在解答分段函数求值问题时，要先看自变量取值，以便确定将自变量代入哪段解析式求解，若不确定则应分类讨论.

函数的性质及应用

(1)与函数单调性有关的问题主要有：①由函数单调性的定义判断或证明某一个函数在一个区间内的单调性；②通过图象求函数的单调区间；③应用函数的单调性解(证明)不等式、比较数的大小等．

(2)函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，高考考查的重点有：用定义法判断函数的奇偶性，奇偶性的应用，特别是在画函数图象、求解析式、解不等式等方面的应用．

(1)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(

) A．4

B．3 C．2

D．1 (2)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．

－f（1）＋g（1）＝2，[解析]

(1)由已知得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)则有解得g(1)f（1）＋g（1）＝4，＝3.

(2)

因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，得－2

[答案]

(1)B

(2)(－1，3)

(1)单调性是函数的重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求值或求最值、解方程(组)等方面应用十分广泛．

(2)奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数的对称性，可缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论.

函数的图象

函数的图象对研究函数的性质和解决有关问题十分重要，它是研究函数性质的直观图，也是数形结合法解题的有力工具，恰当地运用会使问题变得简单明了．画图象时能体现出函数的主要特征即可．

对于函数f(x)＝x2－2|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；

(2)画出此函数的图象，并指出单调区间和最小值．

[解]

(1)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.则f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．图象关于y轴对称．

22x－2x＝（x－1）－1，x≥0，2(2)f(x)＝x－2|x|＝2

2x＋2x＝（x＋1）－1，x<0.画出图象如图所示，

根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.

单调增区间是[－1，0]，[1，＋∞)；

单调减区间是(－∞，－1)，(0，1)．

(1)f(x)为偶函数，为作出函数的图象提供了方便，当然可利用绝对值定义，分区间讨论，去掉绝对值符号．

(2)函数的图象是函数性质的直观反映，观察图象的变化趋势揭示函数的单调性和最值，体现数形结合的思想.

分类讨论思想

已知函数f(x)＝x2－(2a－4)x＋2在[－1，1]内的最小值为g(a)，求g(a)的解析式．

[解]

f(x)＝[x－(a－2)]2－(a－2)2＋2，x∈[－1，1]．

其图象的对称轴为直线x＝a－2.

当a－2<－1，即a<1时，函数f(x)在[－1，1]上单调递增，所以函数的最小值g(a)＝f(－1)，即g(a)＝2a－1；

当－1≤a－2≤1，即1≤a≤3时，函数的最小值g(a)＝f(a－2)，即g(a)＝－(a－2)2＋2；

当a－2>1，即a>3时，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，所以函数的最小值g(a)＝f(1)，即g(a)＝－2a＋7.综上可知，g(a)的解析式为

2a－1，a<1，2g(a)＝－（a－2）＋2，1≤a≤3，

－2a＋7，a>3.

(1)分类讨论思想的实质是：把整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏．

(2)本章中涉及分类讨论的知识点为：集合运算中对∅的讨论，二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数的取值范围问题等.

1．设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)的元素个数为(

) A．1

B．2 C．3

D．4 解析：选C.由已知条件，得U＝A∪B＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{3，4}，所以∁U(A∩B)＝{1，2，5}，即集合∁U(A∩B)的元素有3个，故选C. 12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)＝(

) 231A．－

B．－

2231C.

D.

223解析：选A.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－. 213．若函数f(x)＝＋2x＋3，则f(x)的定义域是________．

x－1x－1≠0，33－，1∪(1，＋∞)．

解析：由可得x≥－且x≠1，故函数的定义域为222x＋3≥03－，1∪(1，＋∞) 答案：2x，x≤－2

4．函数f(x)＝x＋1，－2＜x＜4，若f(a)＜－3，则a的取值范围是________．

3x，x≥4解析：当a≤－2时，f(a)＝a＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；

当－2＜a＜4时，f(a)＝a＋1＜－3，此时不等式无解；

当a≥4时，f(a)＝3a＜－3，此时不等式无解．

所以a的取值范围是(－∞，－3)．

答案：(－∞，－3) 5．已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R. (1)求A∪B，(∁UA)∩B；

(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．

解：(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＜x＜6}＝{x|1＜x≤8}，∁UA＝{x|x＜2或x＞8}，所以(∁UA)∩B＝{x|1＜x＜2}．

(2)因为A∩C≠∅，所以a＜8.