习题2.1教学设计及课堂实录

极值点偏移问题的求解策略

广州市第六中学

徐芳

2019-3-08 教学目标

1、

理解极值点偏移的概念，了解极值点偏移的一般题设形式，掌握极值点偏移的一般求解方法；

2、

能够灵活运用导数的相关知识，掌握含参数的极值点偏移问题，含对数、指数的极值点偏移问题；

3、

培养学生发现问题，解决问题的能力，渗透数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养。

一、

引入

极值点偏移问题在近几年的高考、模拟考试中频繁出现，作为热点以压轴题的形式给出，这类问题有的不含参数，有的含参数，形式多样，变化万千，难度较大，因此很多学生对待此类问题经常是束手无策，或者盲目求解。本节课旨在给出求解极值点偏移问题的一般策略，以消除解题过程中的盲目性。

二、

极值点偏移的含义

众所周知，函数f(x)满足对定义域内任意自变量x都有f(x0x)f(x0x)，则函数f(x)关于直线xx0对称，可以理解为函数f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f(x)为单峰函数，则xx0必为f(x)的极值点. 如二次函数f(x)的顶点就是极值点，设为x0，若f(x)c的两根的中点为正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，即函数f(x)满足对定义域内任意自变量x都f(x0x)f(x0x)或f(x0x)f(x0x)，则为极值点偏移。我们可以理解为：若单峰函数f(x)的极值点为x0，由于函数f(x)在极值点x0左右两侧变化快慢不同，对定义域内的实数x1x2满足x1x2xx2，则刚好有1x0，即极值点在两根的22f(x1)f(x2)，则x1x2与极值点x0必有确定的大小关系：

2xx2xx2若x01，则称为极值点左偏；若x01，则称为极值点右偏.221 【来源：全品…中&高*考*网】

左快右慢（极值点左偏x0x1x2xx2）左慢右快（极值点右偏x01）

22

三、例题讲解

例1：（2010年天津卷理21 改编

）已知函数f(x)xe(xR).

（1）求函数f(x)的单调区间和极值；

（2）若x1x2，且f(x1)f(x2)，证明：x1x22. 解：（1）xf(x)x1x'

f(x)exex当x(,1)时，f'(x)0,f(x)单调递增，

当x(1,+)时，f'(x)0,f(x)单调递减，

故函数f(x)的增区间为(,1)，减区间为(1,+)；

1f(x)有极大值f(1)，无极小值。

e(1x)(1x)（2）构造函数F(x)f(1x)f(1x)1x1x,(x0)

ee11'则F(x)x(1x1x)

eex0F'(x)0恒成立F(x)在（0，+）上单调递增，

F(x)>F(0)0恒成立，即f(1x)f(1x)对x(0,)恒成立

又x1x2，不妨设x1x2，由（1）知x11x2，

f(x1)f(x2)f[1(x21)]f[1(x21)]f(2x2)，

又x11x2x1，2x2(,1)，而f(x)在(,1)上单调递增，

x12x2x1x22，得证。

2

运用模板求解极值点偏移的策略：

（1）求出函数f(x)的极值点x0；

（2）构造一元差函数F(x)f(x0x)f(x0x)；通过对F(x)求导，判断导数的正负符号，从而确定函数F(x)的单调性；

（3）结合F(0)0，判断F(x)的正负符号，从而确定f(x0x)与f(x0x)的大小关系；（或）f[x0(x2x0)]f(2x0x2)，得到

（4）由f(x1)f(x2)f[x0(x2x0)]

f(x1)与f(2x0x2)的大小关系；

（5）再结合f(x)的单调性得到x1与2x0x2的大小关系，从而得到

系。口诀：极值偏离中间值，构造函数觅行踪；五个步骤环相扣，两次单调紧跟随.

例2：设函数f(x)eaxa(aR)的图像与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(x1x2)两点，

证明：f'(xx1+x2与x0的大小关2x1x2)0. 2x证明：依题意得：f'(x)ea，

函数f(x)的图像与x轴交于A,B两点，

a0

当x(-，lna)时，f'(x)0,f(x)单调递减；

当x(lna,)时，f'(x)0,f(x)单调递增，

f(x)有极小值点lna,且x1lnax2，

构造函数F(x)f(lnax)f(lnax)a(exex2x),(x0)

F'(x)a(exex2),(x0)

x0,exex2，而a0F'(x)=a(exex2)a(22)=0

F(x)在(0，+)上单调递增，

3

F(x)F(0)0，即f(lnax)f(lnax)对x(0,)恒成立。

x1lnax2，x2lna0

f(x1)f(x2)f[lna(x2lna)]f[lna(x2lna)]f(2lnax2)

x1lnax2x1，2lnax2(,lna)，而f(x)在(,1)上单调递减，

x12lnax2x1x2lna，

2又f'(x)exa为单调递增函数，

f'(

x1x2)f'(lna)0，得证。

2极值点偏移问题的一般题设形式：

1. 若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1x2，求证：x1x22x0（x0为函数f(x)的极值点）；

2. 若函数f(x)中存在x1,x2且x1x2满足f(x1)f(x2)，求证：x1x22x0（x0为函数f(x)的极值点）；

x1x2，求证：f'(x0)0；

2xx24. 若函数f(x)中存在x1,x2且x1x2满足f(x1)f(x2)，令x01，求证：23. 若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1x2，令x0f'(x0)0.

12aln(ax)(a0)，

A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)的图x2像上不同的两点，且满足f(x1)f(x2)0，，证明：x1x2.

a1证明：依题意得f(x)(a)20f(x)在x(0,)上单调递增，x

11构造函数F(x)f(+x)f(-x),(x0)，

aa例3：设函数f(x)a2x4

4a3x3方法一：则F(x)，

(1ax)2(1ax)2a0,x0F'(x)0恒成立F(x)在（0，+）上单调递减，

1F(x)F(0)2f()0恒成立，

a11f(x)f(x)0对x(0,)恒成立，

aa11即f(x)-f(x)对x(0,)恒成立，

aa又x1x2，不妨设x1x2，由题意知x11x2，

a11112-f(x1)f(x2)f[(x2)]f[(x2)]f(x2)，

aaaaa2f(x1)f(x2)，

a而f(x)为单调递增函数，x122x2x1x2,得证。

aa1a方法二：构造函数F(x)f(+x)f(-x),(x0)

1a2a[11ln(1ax)(1ax)](1ax)(1ax)

1令(1ax)(1ax)=t（,t0）则y2a(1lnt)t

111t‘a0y2a(2)2a2ttt

当x(0,1)时，y'0,y单调递增，当x(1,)时，y'0,y单调递减

yy|t10，即F(x)0恒成立，

下同方法一。

小结：1、例3属于拐点的偏移问题，可以借助极值点偏移的思想和方法来解决；

2、与其一味寻找解决问题的技巧，不如把基本模型用好，把常规方法练熟，把基本思想悟透。

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作业：

1、（2013湖南文）已知函数f(x)1xxe，

21x

【来源：全品…中&高*考*网】证明：当f(x1)f(x2)(x1x2)时，x1x20.

2、已知函数fxeax有两个不同的零点x1，x2，其极值点为x0．

x（1）求a的取值范围；

（2）求证：x1x22x0；

（3）求证：x1x22；

（4）求证：x1x21．

3、（2019年深圳一模理科导数压轴题）已知定义域为(0,)的函数f(x)ex(xa2).(其中常数e2.71828?，是自然对数的底数)

x（1）求函数fx的递增区间；

（2）若函数fx为定义域上的增函数，且fx1fx24e,证明x1x22.

6