习题2.2优秀教学设计说课稿

2.2.2 对数函数及其性质习题课教学设计

最新考纲：

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用。

2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画简单函数的图像。

3.体会对数函数是一类重要的函数模型。

4.了解指数函数与对数函数互为反函数。

知识梳理及其练习（讲练结合，穿插小组讨论）：

一、对数的概念：对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a>0，且a≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N. 1例1：计算：log22＋log51＋log327＋9log32.

原式＝1＋0＋log33－3＋(3log32)2＝1－3＋4＝2. 析：解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对数式化为同底数．

二、对数的运算法则：常用的对数运算法则有：对于M>0，N>0. (1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

M(2)logaN＝logaM－logaN；

(3)logaMn＝nlogaM. 7例2 计算：lg 14－2lg 3＋lg 7－lg 18. 原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. 析：对数运算法则是进行对数运算的根本保证，必须能从正反两方面熟练应用．

三、对数换底公式：根据对数的定义和运算法则

可以得到对数换底公式：

logcblogab＝loga(a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0)．

c由对数换底公式又可得到两个重要结论：

m(1)logab·logba＝1；(2)loganbm＝nlogab. log32例3 计算：(log25＋log4125)×．

log35

1

3log32515原式＝(log25＋2log25)×＝log25×log52＝. 2log52243析：对数的换底公式是“同底化”的有力工具，同学们要牢记．

通过上面讲解，同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互化的依据，正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径．对数的运算性质，同学们要熟练掌握，在应用过程中避免错误，将公式由“正用”“逆用”逐步达到“活用”的境界．

推论1：logab·logba＝1. m推论2：loganbm＝nlogab(a>0且a≠1，b>0)．

例4：

(1)已知log189＝a,18b＝5，求log3645的值；

(2)求log23·log34·log45·…·log6364的值．

lg 9解：(1)因为log189＝a,18b＝5，所以lg 18＝a. 所以lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18. lg5×9所以log3645＝182lg9(2)

＝lg 5＋lg 9blg 18＋alg 18b＋a＝＝. 2lg 18－lg 92lg 18－alg 182－alog23·log34·log45·…·log6364 lg 3lg 4lg 5lg 64lg 646lg 2＝lg 2···…·lg 3lg 4lg 63＝lg 2＝lg 2＝6. 析：对数运算法则中，对数式都是同底的，凡不同底的对数运算，都需要用换底公式将底统一，一般统一成常用对数．

15例5：

已知2log8a＋log4b＝2，log8b＋log4a2＝7，求ab的值．

115loga＋logb＝62222，由已知可得13log2b＋log2a＝7，

log2a＋3log2b＝15，log2a＝6，即解得

3log2a＋log2b＝21.log2b＝3.所以a＝26，b＝23.故ab＝26·23＝512. 析：发现底数“4”，“8”与“2”的关系，将底数统一成“2”，解决问题比较简单．

此外还有下面的关系式：

logaMlogbMlogNM＝logN＝logN；

logaM·logbN＝logaN·logbM；

ab

logaMlogaNlogbM＝logbN＝logab；

NlogaM＝MlogaN.

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四、对数函数图象及性质的简单应用

（1）求函数的单调区间

例6 :指出函数y＝log2x2的单调区间．

函数y＝log2x2的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是(0，＋∞)．

析：在确定单调区间时，要注意增减区间的分界点，特别要注意区间的开与闭问题．

（2）利用图象求参数的值

例7 若函数f(x)＝loga(x＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a等于(

) 1A.3

B.2

2C.2

D．2 析：当a>1时，f(x)＝loga(x＋1)的图象如图所示．

f(x)在[0,1]上是单调增函数，且值域为[0,1]，

所以f(1)＝1，即loga(1＋1)＝1，所以a＝2，

当0

(2)注意应用函数的单调性确定函数的最值(值域)．

（3）利用图象比较实数的大小

例8 已知logm21，试确定实数m和n的大小关系．

解

在同一直角坐标系中作出函数y＝logmx与y＝lognx的图象如图所示，再作x＝2的直线，可得m>n. 析：不同底的对数函数图象的规律是：底都大于1时，底大图低(即在x>1的部分底越大图象就越接近x轴);底都小于1时，底大图高(即在0

(4)利用图象判断方程根的个数

例9 已知关于x的方程|log3x|＝a，讨论a的值来确定方程根的个数．

log3x，

x>1，解

因为y＝|log3x|＝

－log3x，

0

3

(1)当a<0时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0；

(2)当a＝0时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根有1个；

(3)当a>0时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根有2个．

析：利用图象判断方程根的个数一般都是针对不能将根求出的题型，与利用图象解不等式一样，需要先将方程等价转化为两端对应的函数为基本函数(最好一端为一次函数)，再作图象．若含有参数，要注意对参数的讨论，参数的取值不同，函数图象的位置也就不同，也就会引起根的个数不同．

注意事项：对数函数是函数的重要内容之一，由于同学们对概念、定义域、值域、图象等知识点掌握得不够好，经常出现解题错误，现将这些错误进行归纳并举例说明．

1.忽视0没有对数

例：求函数y＝log3(1＋x)2的定义域．

2.忽视1的对数为0 例：求函数y＝log21x＋的定义域．

3.忽视底数的取值范围

例：已知log(2x＋5)(x2＋x－1)＝1，则x的值是(

) A．－4

B．－2或3

C．3

4.忽视真数大于零

例：已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求log5.忽视对含参底数的讨论

例：已知函数y＝logax(2≤x≤4)的最大值比最小值大1，求a的值．

1综上可知a＝2或a＝2.

对数函数常见题型归纳：

1.考查对数函数的定义

2.考查对数的运算性质

3.考查指数式与对数式的互化

4.考查对数函数定义域和值域(最值) 5.考查单调性

6.考查对数函数的图象

2D．－4或5 xy的值．

4

作业：

4x－4，

x≤1，1．(湖南高考)函数f(x)＝2的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是(

) x－4x＋3，

x＞1

A．1

B．2

C．3

D．4

析：作出函数f(x)与g(x)的图象，如图所示，由图象可知：两函数图象的交点有3个．

答案

C 2．(江苏高考)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．

1－，＋∞，令t＝2x＋1(t>0)．因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函析：函数f(x)的定义域为211－，＋∞上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为－，＋∞. 数，t＝2x＋1在221x2，

x≤1，3．(辽宁高考)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(

) 1－log2x，

x>1，－

A．[－1,2]

C．[1，＋∞)

B．[0,2]

D．[0，＋∞)

1－析：当x≤1时，由21x≤2，知x≥0，即0≤x≤1.当x>1时，由1－log2x≤2，知x≥，即x>1，所2以满足f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)．

答案

D ln 2ln 3ln 55．(全国高考)若a＝，b＝，c＝，则(

) 235A．a＜b＜c

C．c＜a＜b

析：首先比较a，b，

即比较3ln 2,2ln 3的大小，

∵3ln 2＝ln 8＜ln 9＝2ln 3，

∴a＜b.故排除B、D. 同理可得c＜a. 答案

C

B．c＜b＜a

D．b＜a＜c

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