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基础巩固题组

(建议用时：40分钟) 一、选择题

1.(2015·肇庆二检)下列函数为偶函数的是(

) A.y＝sin x

C.y＝ex

B.y＝ln(x2＋1－x) D.y＝lnx2＋1 解析

A选项定义域为R，f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数；B选项定义域为R，f(－x)＝ln[（－x）2＋1－(－x)]＝ln(x2＋1＋x)≠f(x)，

1∴函数不是偶函数；C选项定义域为R，f(－x)＝e－x＝ex≠f(x)，∴函数不是偶函数；D选项定义域为R，f(－x)＝ln（－x）2＋1＝lnx2＋1＝f(x)，∴函数为偶函数.故选D. 答案

D 2.(2016·石家庄模拟)设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则

f(－2)＝(

) 1A.－

21B.

2C.2

D.－2 1解析

由已知得f(－2)＝f(2)＝log22＝2.故选B. 答案

B 2x＋1，x>0，3.(2014·福建卷)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(

) cos x，x≤0，A.f(x)是偶函数

C.f(x)是周期函数

B.f(x)是增函数

D.f(x)的值域为[－1，＋∞) 2x＋1，x＞0，解析

函数f(x)＝的图象如图所示，由图象知只有D正确. cos x，x≤0

答案

D

4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(lg x)＜0，则x的取值范围是(

) A.(0，1)

B.(1，10) D.(10，＋∞) C.(1，＋∞)

解析

依题意，函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，不等式f(lg x)＜0＝f(0)等价于lg x＜0，故0＜x＜1，故选A.

答案

A x2＋x＋125.(2015·沈阳质量监测)已知函数f(x)＝2，若f(a)＝3，则f(－a)＝(

) x＋12A.3

2B.－3

4

C.3

4

D.－3

解析

先将表达式化简为f(x)＝1＋－xx，由此可得f(－x)＝1＋，∴有f(x)x2＋1x2＋14＋f(－x)＝2，即有f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝3，故选C. 答案

C 二、填空题

6.函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 解析

令x＜0，则－x＞0，∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，

即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.

答案

－－x－1 7.若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________. 解析

由f(x)是R上周期为5的奇函数知

f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(3)－f(4)＝－1. 答案

－1 8.(2016·辽宁五校联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增1函数，且f3＝0，则不等式f(x)＞0的解集为________. 1解析

由已知f(x)在R上为偶函数，且f3＝0，



1∴f(x)＞0等价于f(|x|)＞f3，

又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，

111∴|x|＞3，即x＞3或x＜－3. 答案

1xx＞或31

x＜－3

二、解答题

2x9.已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0，1)时，f(x)＝x. 4＋1(1)求f(1)和f(－1)的值；

(2)求f(x)在[－1，1]上的解析式. 解

(1)∵f(x)是周期为2的奇函数，

∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0，f(－1)＝0. (2)由题意知，f(0)＝0.当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1). 由f(x)是奇函数，

2－x2x∴f(x)＝－f(－x)＝－－x＝－x，

4＋14＋12综上，在[－1，1]上，f(x)＝

－，x∈（－1，0），4＋10，x∈{－1，0，1}.xx2x，x∈（0，1），4x＋110.已知函数f(x)＝0，x＝0，x2＋mx，x<0(1)求实数m的值；

－x2＋2x，x>0，是奇函数. (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围. 解

(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，

f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，

要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增.

a－2>－1，结合f(x)的图象知

a－2≤1，所以1

(建议用时：20分钟) 11.(2016·昆明统考)下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是(

) A.f(x)＝x2

1C.f(x)＝log2|x|

B.f(x)＝2|x|

D.f(x)＝sin x

解析

函数f(x)＝x2是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)＝2|x|是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)＝1log2|x|是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，符合题意；函数f(x)＝sin x是奇函数，不合题意.故选C.

答案

C 12.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[0，1)上单调递增，1记a＝f2，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(

) A.a＞b＝c

B.b＞a＝c

C.b＞c＞a

D.a＞c＞b

解析

依题意得，f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数，

f(2)＝f(0)＝0，又f(3)＝－f(2)＝0，且f(x)在[0，1)上是增函数，

1于是有f2＞f(0)＝f(2)＝f(3)，即a＞b＝c. 答案

A 113.(2016·杭州七校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝5，且对任意的x都有f(x＋3)＝－1，则f(8)＝________；f(2 015)＝________. f（x）11解析

由f(x＋3)＝－，得f(x＋6)＝－＝f(x)，故函数f(x)是周期f（x）f（x＋3）1为6的周期函数.故f(8)＝f(2)＝5，f(2 015)＝f(6×335＋5)＝f(5)＝－11＝－1f（2）5

＝

－5.

1答案

5

－5 3314.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f2＋x＝－f2－x成立. (1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；

(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；

(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值. 33解

(1)由f2＋x＝－f2－x，

33＋x且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f2＋2＝

33＋x－f2－2＝－f(－x)＝f(x)，

所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期. (2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，

且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2. (3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，

且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数. 故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，即g(－x)＝g(x)恒成立，

于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立. 于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.