习题3.1教学设计第一课时

课题：函数零点问题的数形结合分析

授课教师：庄炯林

授课班级：

高

一

（16）

班

授课地点：录播室

授课时间：2017年11月28日

一. 设计思想与理念

本课的教学设计是按照“教师为主导，学生为主体，变式教学为主线，学生探究为辅．”的原则而设计的．教师在充分分析学生已有知识水平和思维能力的基础上，为学生创设探索的情境，通过问题串，指引探索的途径，通过环环相扣问题链激发学生的求知欲、探索欲，引导学生不断地提出新问题，解决新问题． 二．教学情况分析： 1. 内容分析 函数的零点问题是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x.从方程的角度看,即为相应方程的实数根；从函数的图像角度看,函数的零点就是函数与x轴交点的横坐标.函数的零点从不同的角度,将函数与方程，数与形有机的联系在一起，体现的是函数知识的应用.在讲授本节内容时更多渗透函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合的思想方法，特别是以数形结合思想为主体分析. 2. 学情分析： 初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程的根．对于高中所接触的函数相对较为复杂，除了研究函数的零点个数，还涉及到含参数的零点问题、复合函数的零点问题等等，教学时可通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，只能把方程交给函数，转化为考察相应函数的零点问题，从动态的角度来研究，借助形的角度来研究数的问题． 重点：函数的零点问题转化为方程根问题的理解及运用. 难点：掌握数形结合思想分析问题的方法. 三．教学目标设计

1．知识与技能 领会函数零点与相应方程的根的关系. 2.过程与方法 能够利用方程与函数的转化解决问题．

3.情感、态度与价值观 在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神． 四．教学过程设计

1、知识链接，温故知新

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数形结合思想是解答数学试题的一种常用方法与技巧,在高考试题中,数形结合思想主要用于解选择题和填空题,有直观、简单、快捷等特点;而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是辅助手段,最终要用“数”写出完整的解答过程.

2、典例剖析，体验方法

log1(x1),0x12例题:已知函数f(x)，若函数yf(x)a存在三个零点，则实数a1x3,x1的取值范围 . 分析：首先可应用函数与方程思想，将“函数转化为“方程f(x)a=0yf(x)a存在三个零点”存在三个解”即“函数yf(x)与函数ya有三个交点”，最后用数形结合思想分析。

解析：如图所示，当a1,0时，函数yf(x)与函数ya有三个交点。

评注：讨论方程的解(或函数的零点)的个数一般可构造两个函数,转化为讨论两曲线的交点个数,其基本步骤是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数. 3、变式拓展，深化理解

log1(x1),0x12变式1：已知函数f(x)，若函数yf(x)a存在三个零点，分别1x3,x1为x1,x2,x3（且x1x2x3），则x1+x2+x3的取值范围 . 分析：当a1,0时，函数yf(x)与函数

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ya有三个交点，且在直线ya平移中x2,x3始终关于x3对称，即x2+x3=6，又x101,所以x1+x2+x3=x166,7. ，评注：在求解多元变量取值范围时，可适当降元处理或发现变量间运算是否存在定值。利用分段函数的图象,寻找解题需要的信息,把信息转化为数式的计算,利用数形结合思想解决问题.

log1(x1),0x12变式2:定义域在R上的奇函数f(x)，当x0

时，f(x)，则关于1x3,x1x的函数yf(x)a(0a1)所有零点之和为12，则实数a的值为 . 分析：如图所示，当0a1时，函数yf(x)a存在5个零点，不妨设x1x2x3x4x，其中x1,x2关于x3对称，x4,x5关于x3对称，所以x1+x2+x3+x4+x5=，又2f(3x)lox3(x3=11g2即1a)a=log1(121)log12221. 2 评注：以函数性质为载体，结合数形结合思想，将零点和转化为方程的解。

log1(x1),0x12 变式3：定义域在R上的奇函数f(x)，当x0

时，f(x)，则函1x3,x1数yf(x)f(x)的零点个数是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8 22 分析：“函数yf(x)f(x)的零点个数”等价于“方程f(x)f(x)=0根的个数”，令tf(x)则2t2t0，得t0或t1，此时f(x)0及f(x)1的解为方程f(x)f(x)=0根的个数，即函数yf(x)f(x)的零点个数.如图所示，解的个数为8个，故选D.

3 22

评注：用换元法巧妙的将复合函数零点问题转化为两个函数的零点（或方程的根）问题. log1(x1),0x12变式4：定义域在R上的奇函数f(x)，当x0

时，f(x)，若方1x3,x1程f(x)af(x)2a0有10个不相等的根，则实数a的取值范围 . 分析：“方程22f(x)2af(x)2a有010个不相等的根”等价于“函数yf(x)af(x)2a有10个零点”.令tf(x)则t2at2a0，如图1所示，要使得方程f(x)af(x)2a0有10个不相等的根，方程t2at2a0须有不同的两解，且2t1,t21,1

，即函数g(x)t2at2a在1,1有两个不同的零点，如图2所示，=a28a0a111

解得a2,0. 3g(1)1a2a0g(1)1a2a0

图1 图2 评注：解决复合函数的零点问题的一般方法是：利用图象从外到内依次求解，此外，还需要认真画图动态观察，一些重要数据还要细心求解. 4、收集问题，合作探究

2aab,ab练习1：对于实数a,b定义运算，ab2，设f(x)(2x1)(x1)，且关bab,ab于恰有3个互不相等的实数根x1,x2,x3，则m的取值范R)x的方程f(x)m(m围

.0,

4 14

练习2：定义在，上的函数f(x)满足f(x)=f()，且当x,1时f(x)lnx，x若函数g(x)f(x)ax在，上有零点，则实数a的取值范围

.ln,0



5、点拨指导，归纳总结

（1）实现数形结合的渠道主要有:①实数与数轴上点的对应;②函数与图象的对应;③曲线与方程的对应;④以几何元素及几何条件为背景,通过坐标系来实现的对应.

（2）用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时要作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解.

设计意图：在学生谈收获，谈体验的过程中，教师将本节课的内容回顾总结，概况升华，进一步优化学生的认知结构，把课堂所学的知识与方法较快转化为学生的素质，也更进一步培养学生的归纳概括能力．

6、作业反馈，训练巩固

11110,0x11.已知函数f(x)lnx，g(x)2，则方程f(x)g(x)1实根的个数x42,x1为

. 2.定义域为的R函数f(x)2lnx,x0，若关于x的方程2f(x)2bf(x)10有82x2x,x0个不同的实数根，则b的取值范围

. 2x,x23.已知函数f(x)，函数g(x)bf(2x，)其中bR，若函数2(x2),x2yf(x)g(恰有x)4个零点，则b的取值范围

. x2(4a3)x3a,x04.已知函数f(x)(a0且a1)

，在R上单调递减，且关于x的方loga(x1)1,x0程f(x)2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围

.

五、教学反思

在课堂教学中让学生在亲身体验中认识数学，解决问题，理解和掌握基本的数学知识、技能和方法.多关注学生课堂学习的过程.以问题串组织教学，一步步引导学生自主建构思路，5个追问把整节课知识点串了起来．

这样的课堂是高效的，学生在思考中发现，在探究中感悟．这节课设

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计时立足放手让学生来说，把舞台交给学生．充分体现教师为主导，学生为主体的新课程理念．许多追问的拓展都是学生思考后说出来的，这里学生的主动性积极性得到调动，这样的课堂正是我们老师希望看到的，这样的学生正是我们老师希望培养的．

六、评课

本节课教态很自然，始终面带微笑，不慌不忙，娓娓道来，给人以亲近的感觉，学生似乎也被感染了，师生配合较好．因为学生层次很好（实验班），这里学生的主动性积极性得到调动．学生的大胆质疑，大声回答让人佩服，函数零点问题的数形结合分析讲的比较细致入微，嚼得有滋有味，剖析得比较透彻。（方秦金）

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