习题2.2ppt配用优秀获奖教案

第2课时

对数的运算

明目标、知重点

1.加深对数的概念.2.理解对数运算性质的推导过程，掌握对数的运算性质、换底公式.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．

1．对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；

M(2)loga＝logaM－logaN；

N(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

2．对数换底公式

logcblogab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)；

logca特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．

[情境导学]

我们已经知道，实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算，集合有交、并、补运算，指数也有三种运算，那么，对数有怎样的运算？

探究点一

对数的运算性质

思考1

指数的运算法则有哪些？

答

am·an＝amn；am÷an＝amn；(am)n＝amn；＋－man＝a. nm思考2

指数式与对数式的互化公式是怎样的？

答

指数式与对数式的互化公式为：ab＝N⇔logaN＝b. 思考3

根据对数的定义及对数与指数的关系你能解答下列问题吗？

(1)设loga2＝m，loga3＝n，求amn；

＋(2)设logaM＝m，logaN＝n，试利用m、n表示loga(M·N)．

答

(1)由loga2＝m，得am＝2，由loga3＝n，得an＝3，

所以am·an＝amn＝2×3＝6，即amn＝6. ＋＋(2)由logaM＝m，得am＝M，由logaN＝n，得an＝N. 所以am·an＝amn＝M×N，

＋

把指数式化为对数式得：loga(M·N)＝m＋n. 小结

在思考3中的第(2)题中，我们可以得到loga(M·N)＝m＋n，又由logaM＝m，logaN＝n，进行m，n的代换后就得到对数的一条运算性质，即：loga(M·N)＝logaM＋logaN. 思考4

同样地，由am÷an＝am－nM和(am)n＝amn，也得到对数运算的其他性质：loga＝logaMN－logaN；logaMn＝nlogaM(n∈R)(a>0，且a≠1，M>0，N>0)．试着推导出上述两个公式．

M－答

令M＝am，N＝an，则＝am÷an＝amn，

NM∴m－n＝loga.又由M＝am，N＝an，

N∴m＝logaM，n＝logaN，

M即：logaM－logaN＝m－n＝loga；

N当n≠0时，令logaM＝p，由对数定义可以得M＝ap，

∴Mn＝(ap)n＝anp，

∴logaMn＝np，将logaM＝p代入，即证得logaMn＝nlogaM. 当n＝0时，显然成立．∴logaMn＝nlogaM. 小结

对数运算性质可以用简易语言表达：“积的对数＝对数的和”，“商的对数＝对数的差”，“正数的n次方的对数＝正数的对数的n倍”．有时逆向运用性质：如log105＋log102＝log1010＝1. 例1

用logax，logay，logaz表示下列各式：

xyx2y(1)loga；(2)loga. z3zxy解

(1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz；

zx2y3(2)loga＝loga(x2y)－logaz

3z3＝logax2＋logay－logaz

11＝2logax＋logay－logaz. 23反思与感悟

真数的取值范围必须是(0，＋∞)，log2(－3)(－5)＝log2(－3)＋log2(－5)是不成立的．log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN. 跟踪训练1

计算：

(1)log2(47×25)；(2)lg 5100.

解

(1)log2(47×25)＝log247＋log225＝log2227＋log225＝2×7＋5＝19；

×(2)lg 5122100＝lg 102＝lg 10＝. 555探究点二

换底公式

log25思考1

假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可得到什log23么结论？

答

把3x＝5化为对数式为：log35＝x，

log25log25又因x＝，所以得出log35＝的结论．

log23log23logcb思考2

由思考1你能猜测与哪个对数相等？如何证明这个结论？

logcalogcb答

结论为＝logab. logcalogcb证明如下：令＝x⇒logcb＝xlogca⇒logcb＝logcax

logcalogcb⇒b＝ax⇒x＝logab⇒＝logab. logcalogcb小结

logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)叫做换底公式，用语言可表示为：一logca个对数可以用同底数的两个对数的商来表示．利用换底公式可得出下面的结论：(1)logambn＝n1logab；(2)logab＝(或logab·logba＝1)．

mlogba例2

已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256. 1解

∵log23＝a，则＝log32，又∵log37＝b，

aab＋3log356log37＋3log32∴log4256＝＝＝. log342log37＋log32＋1ab＋a＋1反思与感悟

在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．

跟踪训练

已知logax＝logac＋b，求x. 解

方法一

由对数定义可知：

x＝alogacbalogac·ab＝c·ab. 方法二

由已知移项可得：logax－logac＝b，

xx即loga＝b.则＝ab，∴x＝c·ab. cc方法三

∵b＝logaab，∴logax＝logac＋logaab＝loga(c·ab)，∴x＝c·ab.

例

3

20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．

(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；

(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1)．

解

(1)M＝lg 20－lg 0.001＝lg 20＝lg 20 000＝lg 2＋lg 104≈4.3. 0.001因此，这是一次约为里氏4.3级的地震．

(2)由M＝lg A－lg A0可得M＝lg A＝10M⇔A＝A0·10M. A0当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107.6，当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0·105. A1A0·107.67.6－5所以，两次地震的最大振幅之比是＝＝102.6≈398. 5＝10A2A0·10答

7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍．

跟踪训练3

我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求，音量大小的I单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，分贝的定义是：y＝10lg .这里I0是人耳能听到I0的声音的最低声波强度，I0＝10－12A⇔

A0w/m2，当I＝I0时，y＝0，即dB＝0. (1)如果I＝1 w/m2，求相应的分贝值；

(2)70 dB时声音强度I是60 dB时声音强度I′的多少倍？

解

(1)∵I＝1 w/m2，

I1∴y＝10lg ＝10lg －12＝10lg 1012

I010＝10×12lg 10＝120(dB)．

II(2)由70＝10lg ，即lg ＝7，

I0I0I′I′I′I∴＝107，又60＝10lg ，即lg＝6，∴＝106. I0I0I0I0II0107I∴＝＝6＝10，即I＝10I′. I′I′10I0答

(1)I＝1 w/m2时，相应的分贝值为120 dB；

(2)70 dB时声音强度I是60 dB时声音强度I′的10倍．

1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)(

) A．logax·logay＝loga(x＋y) B．(logax)n＝nlogax

logaxnC.＝logax

nlogaxD.＝logax－logay

logay答案

C logax1n解析

因为＝logax＝logaxn＝logax，所以选C. nn2．已知x，y为正实数，则(

) A．2lg x＋lg y1＝2lg x＋2lg y

B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y

lg yC．2lg x·＝2lg x＋2lg y

D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y

答案

D 解析

2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy)故选D. ．3．log327＋lg 25＋lg 4＋7

log

7

2

＋(－9.8)0＝________. 答案

13

21313解析

原式＝log333＋lg (25×4)＋2＋1＝＋2＋3＝. 2224．化简(log43＋log83)(log32＋log92)＝________. 5答案

4log23log2311解析

原式＝(＋)(＋) log24log28log23log232535＝log23·＝. 62log234x5．已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg 2＋lg x＋lg y，求的值．

yx－y>0，解

由已知条件得x>0，y>0，x＋2yx－y＝2xy，x＋2y>0，

x>yx>y，即y>0，整理得y>0，x＋2yx－y＝2xy，x－2yx＋y＝0，x∴x－2y＝0，∴＝2. y[呈重点、现规律]

1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．

2．运用对数的运算性质应注意：

(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．

(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．

(3)在运算过程中避免出现以下错误：

①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，

③logaM±logaN＝loga(M±N).

一、基础过关

1．计算：log916·log881的值为(

) 183A．18

B.

C.

D.

1838答案

C lg 16lg 814lg 24lg 38解析

log916·log881＝·＝·＝. lg 9lg 82lg 33lg 2312．若log5·log36·log6x＝2，则x等于(

) 311A．9

B.

C．25

D.

925答案

D －lg 3lg 6lg x解析

由换底公式，得··＝2，

lg 5lg 3lg 61－lg x＝－2lg 5，x＝52＝. 25xy3．若lg x－lg y＝a，则lg ()3－lg ()3等于(

) 223A．3a

B.a

C．3a－2

D．a

2答案

A

xyxy解析

lg()3－lg()3＝3(lg －lg ) 2222＝3[(lg x－lg 2)－(lg y－lg 2)]

＝3(lg x－lg y)＝3a. 114．已知3a＝5b＝A，若＋＝2，则A等于(

) abA．15

B.15

C．±15

D．225 答案

B 解析

∵3a＝5b＝A>0，∴a＝log3A，b＝log5A. 11由＋＝logA3＋logA5＝logA15＝2，

ab得A2＝15，A＝15. 5．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________. 答案

1 解析

(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10) ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. 26．地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lg E－11.4)．A地地震级别为9.0级，B3地地震级别为8.0级，那么A地地震的能量是B地地震能量的________倍．

答案

1010 23解析

由R＝(lg E－11.4)，得R＋11.4＝lg E，

32故E＝103R2＋11.4. 设A地和B地地震能量分别为E1，E2，

E110则＝3＝102＝1010. E2811.43911.423102即A地地震的能量是B地地震能量的1010倍．

7．计算下列各式的值：

1324(1)lg －lg 8＋lg 245；

24932(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 31451解

(1)方法一

原式＝(lg 25－lg 72)－lg22＋lg(72×5)2＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5232231

1111＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝. 2222方法二

原式＝lg ＝lg 42－lg 4＋lg 75 742×751＝lg(2×5)＝. 27×4(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2

＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 二、能力提升

8. 已知log89＝a，log25＝b，则lg 3等于(

) aA.

b－1

3B.

2b－13a－1D.

2b3aC.

2b＋1答案

C lg 92lg 3解析

∵log89＝a，∴＝＝a，

lg 83lg 223∴log2 3＝a，∴log23＝a. 32log23log233alg 3＝＝＝. log2101＋log252b＋1x9．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝________. y答案

4 解析

因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，

x>0，y>0，所以x－2y>0，xy＝x－2y2.

由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，

所以x＝y或x＝4y.又x>0，y>0且x－2y>0，

x所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4. y10．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约1经过________年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg 33≈0.477 1) 1解

假设经过x年后，该物质的剩余量是原来的. 3

1根据题意，得0.75x＝，

31lg 3∴x＝log0.75＝－

3lg 3－lg 4lg 3＝－≈4. lg 3－2lg 21故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的. 311.若a，b，c∈N*，且满足a2＋b2＝c2. b＋ca－c(1)求log2(1＋)＋log2(1＋)的值；

abb＋c2(2)若log4(1＋)＝1，log8(a＋b－c)＝，求a，b，c的值．

a3解

(1)∵a2＋b2＝c2，

b＋ca－c∴log2(1＋)＋log2(1＋) abb＋ca－c＝log2[(1＋)(1＋)] ab＝log2a＋b＋ca＋b－c

aba2＋b2－c2＋2ab2ab＝log2＝log2＝1. ababb＋c(2)∵log4(1＋)＝1，

a∴a＋b＋c＝4，即3a－b－c＝0，①

a2∵log8(a＋b－c)＝，

3∴a＋b－c＝4②

∵a2＋b2＝c2③

且a，b，c∈N*，∴由①②③解得a＝6，b＝8，c＝10. 12.若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．

解

原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0. 设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，

1∴t1＋t2＝2，t1·t2＝. 2又∵a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，

∴t1＝lg a，t2＝lg b，

1即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝. 2

∴lg(ab)·(logab＋logba) lg blg a＝(lg a＋lg b)·(＋) lg alg blg b2＋lg a2＝(lg a＋lg b)·

lg a·lg blg a＋lg b2－2lg a·lg b＝(lg a＋lg b)·

lg a·lg b122－2×2＝2×＝12，

12即lg(ab)·(logab＋logba)＝12. 三、探究与拓展

13.已知f(x)＝x2＋(lg a＋2)x＋lg b，f(－1)＝－2，方程f(x)＝2x至多有一个实根，求实数a，b的值．

解

由f(－1)＝－2得，1－(lg a＋2)＋lg b＝－2，

b1b1∴lg ＝－1＝lg ，∴＝，即a＝10b. a10a10又∵方程f(x)＝2x至多有一个实根，

即方程x2＋(lg a)x＋lg b＝0至多有一个实根，

∴(lg a)2－4lg b≤0，即(lg 10b)2－4lg b≤0，

∴(1－lg b)2≤0，∴lg b＝1，b＝10，从而a＝100，

故实数a，b的值分别为100,10.