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1．函数的奇偶性

奇偶性

偶函数

定义

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

图象特点

关于y轴对称

奇函数

2.周期性

关于原点对称

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

【知识拓展】

1．函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．

(2)若f(x＋a)＝1，则T＝2a(a>0)．

fx

1(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．

fx

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(

×

) (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(

√

) (3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(

√

) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(

√

) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(

√

)

1．(教材改编)下列函数为偶函数的是(

) A．f(x)＝x－1 C．f(x)＝2x－2答案

D 解析

D中，f(－x)＝2x＋2x＝f(x)，

－－x B．f(x)＝x2＋x

D．f(x)＝2x＋2x

－∴f(x)为偶函数．

12．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(

) xA．－2

B．0

C．1

D．2 答案

A 解析

f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2. 3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为(

) A．－1

B．0

C．1

D．2 答案

B 解析

∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，

又f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0. 4．(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则当x<0时，f(x)＝________. 答案

x(1－x) 解析

当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．

又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，

∴f(x)＝x(1－x)．

5－5．(2016·四川)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0

－2 解析

∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，

又0

1∴f()＝42＝2，

2551－＋f(2)＝－f＋f(2)＝－f＋f(0) ∴f222＝－2＋0＝－2. 1

题型一

判断函数的奇偶性

例1

(1)下列函数为奇函数的是(

) 1A．f(x)＝2x－x

2C．f(x)＝2cos x＋1 答案

A 解析

选项A中，函数f(x)的定义域为R，

11－又f(－x)＝2x－－x＝x－2x＝－f(x)，

22∴f(x)为奇函数．

2x＋x，x<0，(2)判断函数f(x)＝2的奇偶性．

－x＋x，x>0B．f(x)＝x3sin x

D．f(x)＝x2＋2x

解

当x>0时，－x<0，f(x)＝－x2＋x，

∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x

＝－(－x2＋x)＝－f(x)；

当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x，

∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x

＝－(x2＋x)＝－f(x)．

∴对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f(－x)＝－f(x)．

∴函数f(x)为奇函数．

思维升华

(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：

(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．

(1)(2016·北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是(

) 1A．y＝

xC．y＝(x－1)2

B．y＝lg|x| D．y＝2x

(2)函数f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a>0且a≠1)，则函数F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性是(

) A．F(x)是奇函数，G(x)是奇函数

B．F(x)是偶函数，G(x)是奇函数

C．F(x)是偶函数，G(x)是偶函数

D．F(x)是奇函数，G(x)是偶函数

答案

(1)B

(2)B 解析

(1)选项B中，函数y＝lg|x|的定义域为{x|x≠0}且lg|－x|＝lg|x|，

∴函数y＝lg|x|是偶函数．

(2)F(x)，G(x)的定义域均为(－2,2)，

由已知F(－x)＝f(－x)＋g(－x) ＝loga(2－x)＋loga(2＋x)＝F(x)，

G(－x)＝f(－x)－g(－x) ＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－G(x)，

∴F(x)是偶函数，G(x)是奇函数．

题型二

函数的周期性

例2

(1)(2016·宝鸡模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 017)＋f(2 019)的值为(

) A．－1

B．1

C．0

D．无法计算

(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－＝______. 答案

(1)C

(2)2.5 1，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)fx

解析

(1)由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，

又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，

∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，

∴f(x－1)＝－f(x＋1)，

∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，

∴f(x)的周期为4，

∴f(2 017)＝f(1)，f(2 019)＝f(3)＝f(－1)，

又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，

∴f(2 017)＋f(2 019)＝0. (2)由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]

11＝－＝－＝f(x)．

1fx＋2－fx故函数的周期为4. ∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．

∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5. 引申探究

本例(2)中，若将f(x＋2)＝－1改为f(x＋2)＝－f(x)，其他条件不变，求f(105.5)的值．

fx解

f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，

∴函数的周期为4(下同例题)．

思维升华

函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．

定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________. 答案

339 解析

∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6. ∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；

当－1≤x<3时，f(x)＝x，

∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，

f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，

f(6)＝f(0)＝0，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)

2 016＝1×＝336. 6又f(2 017)＝f(1)＝1，f(2 018)＝f(2)＝2，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝339. 题型三

函数性质的综合应用

命题点1

解不等式问题

1例3

(1)(2017·沈阳质检)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)

) 12A．(，)

3312C．(，)

2312B．[，) 3312D．[，) 232a－3(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值a＋1范围为(

) A．(－1,4)

C．(－1,0)

答案

(1)A

(2)A 解析

(1)因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，

又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，

1f(2x－1)

3112所以|2x－1|<，所以

∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，

2a－32a－3a－4∵f(1)<1，f(5)＝，∴<1，即<0，

a＋1a＋1a＋1解得－1

求参数问题

2例4

(1)(2016·北京西城区模拟)函数f(x)＝lg(a＋)为奇函数，则实数a＝________. 1＋xax＋1，－1≤x<0，(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝bx＋2，0≤x≤1，x＋113，则a＋3b的值为________．

其中a，b∈R.若f

＝f22B．(－2,0) D．(－1,2)

答案

(1)－1

(2)－10 解析

(1)根据题意得，使得函数有意义的条件为a＋得f(0)＝0. 所以lg(a＋2)＝0，即a＝－1，经检验a＝－1满足函数的定义域．

(2)因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，

31所以f2＝f－2且f(－1)＝f(1)，

11故f2＝f－2，

1b＋221从而＝－a＋1，

12＋12即3a＋2b＝－2.①

b＋2由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，

2即b＝－2a.②

由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10. 思维升华

(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．

(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：

①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.

(1)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________. (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(

) A．f(－25)

(1)－

(2)D 2解析

(1)函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x2>0且1＋x≠0，由奇函数的性质可1＋xB．f(80)

所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．

由f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x－4)＝－f(x)，

得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．

因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，

所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，

所以f(－1)

所以f(－25)

2．抽象函数问题

考点分析

抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以选择题或填空题来呈现，有时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视. 一、抽象函数的定义域

fx2－1典例1

已知函数y＝f(x)的定义域是[0,8]，则函数g(x)＝的定义域为________．

2－log2x＋1解析

要使函数有意义，

0≤x－1≤8，需使x＋1>0，2－log2x＋1≠0，2

1≤x≤9，即x>－1，x≠3，2

解得1≤x<3，所以函数g(x)的定义域为[1,3)．

答案

[1,3) 二、抽象函数的函数值

1典例2

若定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝，对任意x∈R恒成立，fx则f(2 019)等于(

) A．4

B．3

C．2

D．1 解析

因为f(x)>0，f(x＋2)＝所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝1，

fx11＝＝f(x)，

fx＋21fx即函数f(x)的周期是4，

所以f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1)．

因为函数f(x)为偶函数，

所以f(2 019)＝f(－1)＝f(1)．

11当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝. f－1f1

即f(1)＝1，所以f(2 019)＝f(1)＝1. 答案

D 三、抽象函数的单调性与不等式

典例3

设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求实数a的取值范围．

规范解答

解

因为f(xy)＝f(x)＋f(y)且f(3)＝1，

所以2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9)．

又f(a)>f(a－1)＋2，所以f(a)>f(a－1)＋f(9)．

再由f(xy)＝f(x)＋f(y)，可知f(a)>f[9(a－1)]，

因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，

从而有a>0，9a－1>0，解得19a－1，

9故所求实数a的取值范围是(1，98)．

1．(2017·石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(

) A．y＝1x

B．y＝|x|－1 C．y＝lg x

D．y＝(1)ln x2

答案

B 解析

对于A，y＝1x为奇函数；

对于C，y＝lg x的定义域为(0，＋∞)；

对于D，y＝(12)ln x的定义域为(0，＋∞)．

2．(2016·兰州模拟)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(

A．－11113

B.3

C．－2

D.2

答案

B 解析

依题意得f(－x)＝f(x)，

∴b＝0，又a－1＝－2a，

)

11∴a＝，∴a＋b＝，故选B. 333．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)等于(

) A．－2

B．2

C．－98

D．98 答案

B 解析

由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，

f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，

又f(x＋4)＝f(x)，∴f(3)＝f(－1)，

由－1∈(－2,0)得f(－1)＝2，

∴f(2 019)＝2. 24．已知f(x)＝lg(＋a)为奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是(

) 1－xA．(－∞，0)

C．(0,1)

答案

B 2＋a2－a2x222解析

由f(x)＋f(－x)＝0，即lg(＋a)＋lg(＋a)＝lg＝lg 1＝0可得a＝－1，

1－x1＋x1－x2所以f(x)＝lg 1＋x1＋x，解得0<<1，可得－10时，f(x)＝则f(f(－16))log2xx>8，等于(

) 1313A．－

B．－

C.

D.

2222答案

C 解析

由题意f(－16)＝－f(16)＝－log216＝－4，

故f(f(－16))＝f(－4)＝－f(4)＝－cos 4π1＝. 62

*6.(2016·天津)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a1|)>f(－2)，则a的取值范围是(

) －1－∞，

A.213C.2，2

答案

C 13－∞，∪，＋∞

B.223D.2，＋∞

解析

因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)且f(x)1－－在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a1|)>f(－2)，f(－2)＝f(2)可得2|a1|<2，即|a－1|<，所213以0，17．(2016·湖南四校联考)已知函数f(x)＝若f(x)为奇函数，则g(－)=________．

4gx，x<0，

答案

2 111解析

g(－)＝f(－)＝－f() 4441－＝－log2＝－log222＝2. 458．(2016·济南模拟)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1＋x)，则f(－)＝2________. 3答案

－

2解析

因为f(x)是周期为2的奇函数，

551113所以f(－)＝－f()＝－f()＝－[2×(1＋)]＝－. 2222229．函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 答案

－－x－1 解析

∵f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，

∴当x<0时，－x>0，

f(－x)＝－x＋1＝－f(x)，

即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1. 10．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有：

①2是函数f(x)的周期；

②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；

③函数f(x)的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________．

答案

①②

解析

在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，

则有f(t＋2)＝f(t)，

因此2是函数f(x)的周期，故①正确；

当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，

根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；

由②知，f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误．

－x＋2x，x>0，11．已知函数f(x)＝0，x＝0，x2＋mx，x<0(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解

(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．

于是x<0时，f(x)＝x2＋mx＝x2＋2x，

所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

a－2>－1，结合f(x)的图象知

a－2≤1，2

是奇函数．

所以1

故实数a的取值范围是(1,3]．

12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)．

(1)证明

∵f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

∴f(x)是周期为4的周期函数．

(2)解

∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，

∴4－x∈[0,2]，

∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2

＝－x2＋6x－8，

又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，

∴－f(x)＝－x2＋6x－8，

即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．

(3)解

∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3) ＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) ＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018) ＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018) ＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1. *13.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

解

(1)∵对于任意x1，x2∈D，

有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，

∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数．

证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，

1∴f(－1)＝f(1)＝0. 2令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，

∴f(－x)＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，

由(2)知，f(x)是偶函数，

∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)

又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴0<|x－1|<16，解之得－15

∴x的取值范围是{x|－15