习题1.2优秀教学实录

课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．

1.教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．

2.教学难点：分段函数的表示及其图象。

一、知识梳理

1.函数的表示法：解析法、列表法、图象法。

2.三种表示方法各自的特点？

解析式的特点：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．

列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值。

图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况。

二、题型探究

类型一

建立分段函数模型

例1 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图像．

考点

分段函数

题点

求分段函数解析式

解

过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.

综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为

1y＝2＋10，x∈5，7]

图像如图所示：

反思与感悟

当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图像也需要分段画．

类型二

研究分段函数的性质

命题角度1 给x求y

x2＋2x，－2

f2的值．

考点

分段函数

题点

分段函数求值

引申探究

本例中f(x)解析式不变，若x≥－5，求f(x)的取值范围．

解

当－5≤x≤－2时，f(x)＝x＋1∈[－4，－1]；

当－2

当x≥2时，f(x)＝2x－1∈[3，＋∞)；

∴当x≥－5时，f(x)∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞)．

反思与感悟

分段函数求函数值的方法

(1)确定要求值的自变量属于哪一区间．

(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．

x2－2x，04.

(1)求f(f(f(5)))的值；

(2)画出函数f(x)的图像．

考点

分段函数

题点

分段函数求值

(2)f(x)的图像如下：

命题角度2 给y求x

2x，x≤2，例3 已知函数f(x)＝x2＋2，x>2.

(1)若f(x0)＝8，求x0的值；

(2)解不等式f(x)>8.

考点

分段函数

题点

分段函数求值

解①，x∈∅，解②得x>.

综合①②，f(x)>8的解集为{x|x>}．

反思与感悟

已知函数值求x取值的步骤

(1)先对x的取值范围分类讨论．

(2)然后代入到不同的解析式中．

(3)通过解方程求出x的解．

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．

(5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来．

x2，－1≤x≤1，跟踪训练3 已知f(x)＝1，x>1或x<－1.

(1)画出f(x)的图像；

1(2)若f(x)≥4，求x的取值范围；

(3)求f(x)的值域．

考点

分段函数

题点

分段函数的定义域、值域

解

(1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示．

11111(2)由于f2＝4，结合此函数图像可知，使f(x)≥4的x的取值范围是2∪，＋∞.

(3)由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，

当x>1或x <－1时，f(x)＝1.

所以f(x)的值域为[0,1]．

三、达标检测

1.f(x)的图像如图所示，其中0≤x≤1时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f(x)的解析式是(

2，12

B．f(x)＝3，x≥2

2，12

D．f(x)＝3，x≥2

答案

D

)

1，x＝0，2．设f(x)＝－1，x<0，则f(f(0))等于(

)

A．1

B．0

C．2

D．－1

考点

分段函数

题点

分段函数求值

答案

C

x2＋1，，xx>0≤0，，3．已知函数y＝－2x则使函数值为5的x的值是(

)

A．－2或2

5B．2或－2

C．－2

5D．2或－2或－2

答案

C

0，x＝0，1，，xx为有理数，4．设f(x)＝－1，x<0，g(x)＝0为无理数，则f(g(π))的值为( A．1

B．0

C．－1

D．π

考点

分段函数

题点

分段函数求值

答案

B

)