习题2.3公开课教案

《创新设计》图书

§2.3

幂函数

课时目标

1.通过具体问题，了解幂函数的概念.2.从描点作图入手，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x

12－1的图象，总结出幂函数的共性，巩固并会加以应用．

1．一般地，______________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x，y＝x2312－1的图象．

3．结合2中图象，填空．

(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义．

(2)若α>0时，幂函数图象过点____________，且在第一象限内______；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象______．

(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调______，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，函数在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴．

(4)当α为奇数时，幂函数图象关于______对称；当α为偶数时，幂函数图象关于______对称．

(5)幂函数在第____象限无图象．

一、选择题

1．下列函数中不是幂函数的是(

) A．y＝x

B．y＝x3

－C．y＝2x

D．y＝x1

12．幂函数f(x)的图象过点(4，)，那么f(8)的值为(

) 22A.

B．64 41C．22

D.

643．下列是y＝x的图象的是(

) 23

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14．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线2C1，C2，C3，C4的n依次为(

) 11A．－2，－，，2 2211B．2，，－，－2 2211C．－，－2,2，

2211D．2，，－2，－

225．设a＝，b＝

352522，c＝，则a，b，c的大小关系是(

) 553525A．a>c>b

B．a>b>c

C．c>a>b

D．b>c>a

6．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是(

) A．0

B．2 C．3

D．4

题

号

1

2

3

4

5

6 答

案

二、填空题

7．给出以下结论：

①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；

②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；

③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；

④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．

则正确结论的序号为________．

8．函数y＝x＋x1的定义域是____________．

－－9．已知函数y＝x2m3的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．

三、解答题

－12

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10．比较1.

1、1.4、1.1的大小，并说明理由．

12121311．如图，幂函数y＝x函数的解析式．

能力提升

3m－7

(m∈N)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此12．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；

x(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．

113．点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值4时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)

m2m1

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1．幂函数在第一象限内指数变化规律：

在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．

n2．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数中的m是否为偶数；判断幂函数的奇偶mnn性时要看指数中的m、n是奇数还是偶数．y＝xα，当α＝(m、n∈N*，m、

mmn互质)时，有：

n 奇数

偶数

奇数

nmm 偶数

奇数

奇数

y＝x的奇偶性

非奇非偶函数

偶函数

奇函数

nm定义域

[0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) nn3.幂函数y＝x的单调性，在(0，＋∞)上，>0时为增函数，<0时为减函数．

mm§2.3

幂函数

知识梳理

1．函数y＝xα

3.(1)(1,1)

(2)(0,0)，(1,1)

递增

下凸

(3)(1,1)

递减

(4)原点

y轴

(5)四

作业设计

1．C

[根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C不是幂函数．]

12．A

[设幂函数为y＝xα，依题意，＝4α，

21－即22α＝21，∴α＝－. 2∴幂函数为y＝x2312，∴f(8)＝812＝112＝＝.] 82243333．B

[y＝x＝x2，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝－x2＝x2

2＝f(x)，即y＝x是偶函数，又∵<1，∴图象上凸．] 34．B

[作直线x＝t(t>1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]

5．A

[根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝x在x>0时是增函数，2所以a>c；y＝()x在x>0时是减函数，所以c>b.] 56．B

[因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x|<1. 要使f(x)＝xα>|x|，xα在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，

所以α＝－1,1显然是不成立的．

2523

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当α＝0时，f(x)＝1>|x|；

当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；

－－当α＝－2时，f(x)＝x2＝|x|2>1>|x|. 综上，α的可能取值为0或－2，共2个．] 7．④

解析

当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函－数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．

8．(0，＋∞) 解析

y＝x的定义域是[0，＋∞)，y＝x39．m<－

2解析

由幂函数的性质知－2m－3>0，

3故m<－. 210．解

考查函数y＝1.1x，∵1.1>1，

∴它在(0，＋∞)上是增函数．

11又∵>，∴1.12>1.13. 231再考查函数y＝x，∵>0，

2∴它在(0，＋∞)上是增函数．

又∵1.4>1.1，∴1.4>1.1，

∴1.4>1.1>1.1. 11．解

由题意，得3m－7<0. 7∴m<. 3∵m∈N，∴m＝0,1或2，

∵幂函数的图象关于y轴对称，

∴3m－7为偶数．

∵m＝0时，3m－7＝－7，

m＝1时，3m－7＝－4，

m＝2时，3m－7＝－1. －－故当m＝1时，y＝x4符合题意．即y＝x4. 12．解

(1)若f(x)为正比例函数，

2m＋m－1＝1，则2⇒m＝1. m＋2m≠0(2)若f(x)为反比例函数，

2m＋m－1＝－1，则2⇒m＝－1. m＋2m≠0(3)若f(x)为二次函数，则

2m＋m－1＝2，－1±132⇒m＝. 2m＋2m≠01212121212112－1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．

113

(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，

∴m＝－1±2. 13．解

设f(x)＝xα，则由题意，得

2＝(2)α，∴α＝2，即f(x)＝x2.

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1设g(x)＝xβ，由题意，得＝(－2)β，

4∴β＝－2，即g(x)＝x. 在同一平面直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．

由图象可知：

(1)当x>1或x<－1时，

f(x)>g(x)；

(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；

(3)当－1

－2